Chủ đề này có 3 trả lời

[Khang Hy]

1.Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn$f(0)=2, f(x+f(x+2y))=f(2x)+f(2y),x,y\in \mathbb{Z}$

2. Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ sao cho $f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),n\geq 2$

[tuan101293]

Bài 2:

$f(f(n-1)) \ge 1 $ suy ra $f(n+1)\ge f(n)+1$ hay f là hàm tăng và $f(n)\ge n$

$f(n+1) =f(n) +f(f(n-1)) \ge f(n)+f(n-1) \ge 2n-1$ (1)

$f(f(n-1))< f(n+1)$ suy ra $f(n-1)<n+1$ hay $f(n)\le n+1$ với mọi n (2)

(1), (2) suy ra vô lý

[Khang Hy]

Bài 2:

$f(f(n-1)) \ge 1 $ suy ra $f(n+1)\ge f(n)+1$ hay f là hàm tăng và $f(n)\ge n$

$f(n+1) =f(n) +f(f(n-1)) \ge f(n)+f(n-1) \ge 2n-1$ (1)

$f(f(n-1))< f(n+1)$ suy ra $f(n-1)<n+1$ hay $f(n)\le n+1$ với mọi n (2)

(1), (2) suy ra vô lý

mình không hiểu bạn. bạn giải thích kĩ hơn xíu đi vì mình mới học đến phần này

[tuan101293]

Bạn ko hiểu chỗ nào ???

Lời giải bài 2: 

Ký hiệu P(x,y) là thay (x,y) vào đề bài: 

P(0,0) ta có $f(2) = 4$ 

P(0,y) ta có $ f(f(2y)) = f(2y) + 2$, từ biểu thức này thay liên tục y = 1,2,3,.... ta có $f(2n) = 2n+2$ với n dương bằng quy nạp

P(2k,-k) ta có $f(2k+2) = f(4k) +f(-2k) $ thay k =1,2,... ta tìm được nốt $f(2m) = 2m+2$ với m âm

hay ta luôn có $f(2n) = 2n+2$ với mọi n thuộc Z

Tiếp theo ta chứng minh

Nếu $a = b (mod 2)$ và $f(a) = f(b) $ thì $a = b$ (*)

Thật vậy, nếu $a = b( mod 2) $ và $f(a)  = f(b)$ ta có x,y,z nguyên  mà $x+2y = a, x+2z = b$

P(x,y) ta có $f(x+f(a)) = f(2x) +f(2y) = 2x+2y+4  $  (1)

P(x,z) ta có $f(x+f(b)) = f(2x) + f(2z) = 2x+2z+4$    (2) 

(1),(2) suy ra $y=z$ hay $a=b$ nên (*) đúng

Bây h ta tính f(1) 

TH1: f(1) lẻ, suy ra f(1)+1 chẵn và từ P(1,0) suy ra $f(1+f(1)) = 6 = f(4)$, theo (*) ta có $f(1) +1 =4$ hay f(1) = 3

TH2: f(1) chẵn hay $f(1) =2k$

P(-2k+1,k) ta có $f(-2k+1+ 2k) = -2k +6$ hay $f(1) = -2k+6$ suy ra $4k =6$ vô lý

hay f(1) =3

Cách tính f(2n+1) hoàn toàn tương tự

Tổng quát là $f(2m+1) = 2k$ thì thay P(2m-2k+1,k) cũng thấy vô lý.

Tóm lại f(x) = x+2

Ps: bài này mệt phết nhỉ @@