Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$2p+1$ là số lập phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 04-10-2013 - 21:41

1/ Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

2/ Chứng minh rằng nếu $3^{n} +2^{n}+1$ là số nguyên tố $(n \in \mathbb{N})$ thì $n \vdots 3.$

3/ $(Bulgari 2000)$ Tìm tất cả số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ mà $p^{n}=x^{3}+y^{3}.$

4/ Xác định tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $\frac{p^{2n+1}-1}{p-1}=\frac{q^{3}-1}{q-1}.(n>1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:23
Chỉnh lại Latex

        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#2 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 04-10-2013 - 21:48

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:41

:lol:Thuận :lol:

#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 04-10-2013 - 21:54

Đề bài $2$ không chính xác rồi! Ta thấy $3^{n}+2^{n}+1>2$ và luôn chia hết cho $2$ nên luôn là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:24
Chỉnh Latex

:lol:Thuận :lol:

#4 badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Đông Hà-Quảng Trị

Đã gửi 04-10-2013 - 22:02

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:41

:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 04-10-2013 - 22:06

Bài 2,3 xem tại đây.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 04-10-2013 - 22:19

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Làm sao chứng minh đây bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:29

        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#7 badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Đông Hà-Quảng Trị

Đã gửi 04-10-2013 - 22:26

Làm sao chứng minh đây bạn?

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32

:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#8 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 04-10-2013 - 22:26

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Mình đã sửa lại rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:30

:lol:Thuận :lol:

#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 04-10-2013 - 22:29

Mình đã sửa lại rồi.

Để cho nhanh hơn thì ta có thể thử trực tiếp $p=2$ không thỏa mãn. Xét $p>2$ với các trường hợp đó thì nhận thấy $n-1<n^2+n+1$ nên chỉ có hai trường hợp là $\begin{cases} n-1=2 \\ n^2+n+1=p \end{cases}$ và $\begin{cases} n-2=1 \\ n^2+n+1=2p \end{cases}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:30

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#10 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 04-10-2013 - 22:30

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

$n-1$ và $n^{2}+n+1$ không nguyên tố cùng nhau, ví dụ như $n=7.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32

:lol:Thuận :lol:

#11 AkaKuro0415

AkaKuro0415

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Madrid, Spain

Đã gửi 06-01-2015 - 21:40

Giả sử ở bài toán khác, ta hỏi ''Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên" thì cách làm sẽ tương tự bài này phải không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32


#12 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-01-2019 - 16:33

1/ Đặt $2p+1=n^3$ với $n$ là số tự nhiên.

 

♣ Ta thấy $p=2$ thì $2p+1=5$ không là số lập phương. 

 

♣ Nếu $p>2$ thì $p$ lẻ, mặt khác $2p+1$ lẻ $\Rightarrow n^3$ lẻ $\Rightarrow n$ lẻ 
$\Rightarrow 2p+1=(2k+1)^3(n=2k+1)$
$\Leftrightarrow 2p+1=8k^3+12k^2+6k+1$
$\Leftrightarrow p=k(4k^2+6k+3)$

$\Rightarrow p \vdots k.$ Do $p$ là số nguyên tố nên $k=1$ hoặc $k=p.$ 

♫ Khi $k=1,p=(4.1^2+6.1+3)=13$ (nhận).

♫ Khi $k=p,4k^2+6k+3=4p^2+6p+3=1.$ Do $p>2$ nên $4p^2+6p+3>1$ (loại).

 

Vậy $p=13.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:40





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh