Đến nội dung

Hình ảnh

$2p+1$ là số lập phương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

1/ Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

2/ Chứng minh rằng nếu $3^{n} +2^{n}+1$ là số nguyên tố $(n \in \mathbb{N})$ thì $n \vdots 3.$

3/ $(Bulgari 2000)$ Tìm tất cả số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ mà $p^{n}=x^{3}+y^{3}.$

4/ Xác định tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $\frac{p^{2n+1}-1}{p-1}=\frac{q^{3}-1}{q-1}.(n>1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:23
Chỉnh lại Latex

        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#2
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:41

:lol:Thuận :lol:

#3
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Đề bài $2$ không chính xác rồi! Ta thấy $3^{n}+2^{n}+1>2$ và luôn chia hết cho $2$ nên luôn là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:24
Chỉnh Latex

:lol:Thuận :lol:

#4
badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:41

:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#5
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2,3 xem tại đây.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#6
ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Làm sao chứng minh đây bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:29

        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#7
badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Làm sao chứng minh đây bạn?

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32

:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#8
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Mình đã sửa lại rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:30

:lol:Thuận :lol:

#9
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Mình đã sửa lại rồi.

Để cho nhanh hơn thì ta có thể thử trực tiếp $p=2$ không thỏa mãn. Xét $p>2$ với các trường hợp đó thì nhận thấy $n-1<n^2+n+1$ nên chỉ có hai trường hợp là $\begin{cases} n-1=2 \\ n^2+n+1=p \end{cases}$ và $\begin{cases} n-2=1 \\ n^2+n+1=2p \end{cases}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:30

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#10
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

$n-1$ và $n^{2}+n+1$ không nguyên tố cùng nhau, ví dụ như $n=7.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32

:lol:Thuận :lol:

#11
AkaKuro0415

AkaKuro0415

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Giả sử ở bài toán khác, ta hỏi ''Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên" thì cách làm sẽ tương tự bài này phải không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:32


#12
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

1/ Đặt $2p+1=n^3$ với $n$ là số tự nhiên.

 

♣ Ta thấy $p=2$ thì $2p+1=5$ không là số lập phương. 

 

♣ Nếu $p>2$ thì $p$ lẻ, mặt khác $2p+1$ lẻ $\Rightarrow n^3$ lẻ $\Rightarrow n$ lẻ 
$\Rightarrow 2p+1=(2k+1)^3(n=2k+1)$
$\Leftrightarrow 2p+1=8k^3+12k^2+6k+1$
$\Leftrightarrow p=k(4k^2+6k+3)$

$\Rightarrow p \vdots k.$ Do $p$ là số nguyên tố nên $k=1$ hoặc $k=p.$ 

♫ Khi $k=1,p=(4.1^2+6.1+3)=13$ (nhận).

♫ Khi $k=p,4k^2+6k+3=4p^2+6p+3=1.$ Do $p>2$ nên $4p^2+6p+3>1$ (loại).

 

Vậy $p=13.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-02-2019 - 15:40





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh