Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $a+b> 4$ & $b+c\geqslant abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
EvaristeGaloa

EvaristeGaloa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

1/ Cho $a,b> 0$ thoả $ab>a+b$. Chứng minh rằng: $a+b> 4$

2/ Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Chứng minh rằng: $b+c\geqslant abc$



#2
badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

1/ Áp dụng bất  đẳng thức AM-GM, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow (a+b)^2\geq 4ab$
$\Rightarrow (a+b)^2> 4(a+b)$ (Vì $ab> a+b$)
Nên $a+b> 4$ (Do a+b>0)


:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#3
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

1/ Cho $a,b> 0$ thoả $ab>a+b$. Chứng minh rằng: $a+b> 4$

2/ Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Chứng minh rằng: $b+c\geqslant abc$

Câu 2 VT của bất đẳng thức thiếu a rồi

VD: nếu lấy $a=b=c=\frac{4}{3}$ thì bất đẳng thức sai.



#4
EvaristeGaloa

EvaristeGaloa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Câu 2 VT của bất đẳng thức thiếu a rồi

VD: nếu lấy $a=b=c=\frac{4}{3}$ thì bất đẳng thức sai.

Nếu $a=b=c=\frac{4}{3}$, ta có:

$b+c=\frac{8}{3}=\frac{72}{27}$

Còn: $abc=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}=\frac{64}{27}$

Suy ra: $b+c>abc$ (vẫn đúng với giả thiết)



#5
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Nếu $a=b=c=\frac{4}{3}$, ta có:

$b+c=\frac{8}{3}=\frac{72}{27}$

Còn: $abc=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}=\frac{64}{27}$

Suy ra: $b+c>abc$ (vẫn đúng với giả thiết)

ừ nhỉ??

hồi nãy mình tính lầm  :(  :(  :(



#6
badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

2/ Ta có 
gt đã cho $a,b,c> 0$  và  $a+b+c= 4$
$\Rightarrow a=4-b-c$
Vậy $b+c\geq abc$
$\Leftrightarrow b+c\geq (4-b-c)bc$
$\Leftrightarrow (b^2c-2bc+c)+(c^2b-2bc+b)\geq 0$
$\Leftrightarrow c(b-1)^2+b(c-1)^2\geq 0$ (Đúng)
Vậy dấu "=" xảy ra khi b=c=1 và a=2


:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#7
linhlun97

linhlun97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Câu 2:

$(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)$$\Leftrightarrow 4\geq a(b+c)$

 Suy ra $(b+c)^2\geq 4bc\geq bc.a(b+c)$

$\Rightarrow b+c\geq abc$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh