Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b}+\frac{ab+b^2-2c}{a^2+ab+c} \geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết

$a,b,c>0; b \geq 2 \sqrt{c}$. CMR:

$\frac{a}{b}+\frac{ab+b^2-2c}{a^2+ab+c} \geq \frac{3}{2}$


420 Blaze It Faggot


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

$a,b,c>0; b \geq 2 \sqrt{c}$. CMR:

$\frac{a}{b}+\frac{ab+b^2-2c}{a^2+ab+c} \geq \frac{3}{2}$

Do $b\geqslant 2\sqrt{c}\Rightarrow c\leqslant \frac{b^2}{4}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{a}{b}+\frac{ab+b^2-\frac{b^2}{2}}{a^2+ab+\frac{b^2}{4}}=\frac{a}{b}+\frac{ab+\frac{b^2}{2}}{(a+\frac{b}{2})^2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a+\frac{b}{2}}=\frac{a}{b}+\frac{2b}{2a+b}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{a}{b}+\frac{2b}{2a+b}\geqslant \frac{3}{2}$

                 $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-\frac{1}{2})+(\frac{2b}{2a+b}-1)\geqslant 0$

                 $\Leftrightarrow \frac{(2a-b)^2}{2b(2a+b)}\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=2$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết

Vì $b^2 \geq 4c $ nên chọn được $x,y$ để $x+y=b$ và $xy=c$. Thay vào đpcm thành BĐT Nesbit với 3 biến $(a;x;y)$  :icon6:


420 Blaze It Faggot


#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Mục đích đăng bài là gì thế ?


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết

Chế bài từ ý tưởng đơn giản. Đăng để mọi người cùng làm.


420 Blaze It Faggot





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh