a. Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} & 1 & 1 \\ 0&\dfrac{1}{3}&1 \\ 0&0&\dfrac{1}{6} \end{bmatrix}$
Xét $A^n=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$. Tính $\lim_{n\to \infty}a_{ij}$.
b. Cho ma trận $B=\begin{bmatrix} 2& 0 & 0 \\ 0&3&0 \\ 0&1&2 \end{bmatrix}$
Xét $B^n=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$. Tính $\dfrac{\lim_{n\to \infty}a_{22}}{\lim_{n\to \infty}a_{32}}$
(Em chưa học về chéo hóa ma trận nên mong mọi người đừng dùng cách này ạ 
)
Bài 1: Các bạn có thể tham khảo khá trọn vẹn tại một chủ đề đã có trên diễn đàn
tại đây.
Bài 2: Với bài này thì phương pháp đơn giản ban đầu mà chúng ta nghĩ tới một cách tự nhiên nhất là tính $A^n$ rồi tính giới hạn trên. Với tinh thần đó tôi xin bàn về ý tưởng này.
Bài toán tính $A^n$ có nhiều cách giải. Ví dụ như: quy nạp, dùng khai triển nhị thức Newton, dùng đa thức đặc trưng, dùng chéo hoá ma trận...
Tong đó thì con đường tự nhiên nhất mà một người mới làm quen với bài toán này có thể nghỉ tới là quy nạp. Tất nhiên việc quy nạp 9 số hạng là một công việc đòi hỏi kỹ thuật, sự nhạy bén khi đánh giá quy luật một dãy số. Nhưng với bài này thì lượng số hạng cần quy nạp rất ít, chỉ có 4 (mà thật tế ra là chỉ có 1 vì 3 số hạng kia quy luật nhìn thấy rất dễ). Cụ thể như sau:
Ta có
$\begin{eqnarray} A &=& \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\\ A^2 &=& \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0\\ 0 & 5 & 4 \end{pmatrix}\\ A^3 &=& \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0\\ 0 & 27 & 0\\ 0 & 19 & 8 \end{pmatrix}\\ A^4 &=& \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0\\ 0 & 81 & 0\\ 0 & 65 & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
Như vậy tôi dự đoán rằng $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0\\ 0 & 3^n & 0\\ 0 & 3^n-2^n & 2^n \end{pmatrix}$ $(*)$
Việc còn lại là chứng minh bằng quy nạp điều vừa dự đoán. Việc này thì bạn có thể tự xử lý được rồi.
Suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}\frac{a_{22}}{a_{32}}=\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}\frac{3^n}{3^n-2^n}=1$
............................................
Ngoài ra với bài này ta có thể sử dụng một phương pháp khá mạnh là dùng nhị thức Newton.
Với phương pháp này thì đầu tiên ta thực hiện phép tách $B=B_1+B_2$ sao cho $B_1$ và $B_2$ giao hoán với nhau và lũy thừa các ma trận $B_1$ và $B_2$ có quy luật đơn giản. Với yêu cầu như vậy thì phép tách $B=\alpha I+D$ với $D$ ($I$ là ma trận đơn vị) là một cách tách khả thi, và đơn giản nhất. Cụ thể với bài toán của bạn thì ta có thể làm như sau:
Ta phận tích $$B=D+2I$$ với $D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Dễ dàng tính được rằng $D^k=D$ $\forall k\ge 1$
Khi đó ta có:
$\begin{eqnarray} B^n &=& \left ( D+2I \right )^n\\ &=& \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}D^k\left ( 2I \right )^{n-k}\\ &=& 2^n.I+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}2^{n-k}.D\\ &=& 2^n.I+ \left ( \sum_{k=0}^{n}C_n^k.2^n-2^n \right ).D\\ &=& 2^n.I+\left ( 3^n-2^n \right ).D\\ &=& \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0\\ 0 & 3^n & 0\\ 0 & 3^n-2^n & 2^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
Như vậy chúng ta đã có hai cách làm bài này và tất nhiên còn nhiều cách khác nữa.
...........................................
P/s: Các bài toán này là đề thi Olympic toán Sinh viên các năm trước, bài 1 là đề thi năm 1998, bài 2 là đề thi năm 1996. Bạn có thể tham khảo thêm lời giải khác ứng dụng giải tích của bài này trong sách Các đề thi Olympic toán Sinh viên toàn quốc của GS. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-10-2013 - 08:39
).Nên m bó tay nếu không chéo hóa,mong ai có ý kiến gì hay ko??
