Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$

hà anh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 07-10-2013 - 15:34

cho a,b,c$\geq 1$

chứng minh rằng 

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$

dấu bằng xảy ra khi nào



#2 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 07-10-2013 - 16:32

mình thử chứng minh xem mong mọi người xem xét

vì a,b,c$\geq 1$ nên ta có

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a(a+1)}$

theo bất đẳng thức hoán vị ta có

$\sum \frac{1}{a(a+1)}\geq \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}$ (*)

bây giờ ta cần chứng minh$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (1)

đặt a=$\frac{ky}{x}$

b=$\frac{kz}{y}$

c=$\frac{kx}{z}$

ta có

(1)$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{kz}{y}+\frac{k^{2}x}{y}}\geq \frac{3}{1+k^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{y}{z+kx}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}$

áp dụng cauchy-sschwars

VT$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(k+1)(xy+yz+xz)}\geq \frac{3}{k+1}$

ta cần chứng minh thêm

$\frac{3}{k+1}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}\Leftrightarrow (k-1)^{2}(k+1)\geq 0$ (đúng )

vậy (1) đúng 

và từ (1)(*) ta được đpcm

p/s: có ai chứng minh được bđt (*) thì đăng lên cho mình nhé!



#3 nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:đá bóng chơi cờ và làm toán

Đã gửi 07-10-2013 - 17:39

theo mình thì chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ (tớ quy đồng ) .giả sử z=min{x;y;z}  sau đó xét $\frac{2}{1+xy}+\frac{1}{1+z^{2}}-\frac{3}{1+xyz}= \frac{2xy(z-1)}{(1+xy)(1+xyz)}+\frac{z(xy-z)}{(1+z^{2})(1+xyz)}\geq 0$ (do $z\geq 1$ và xy-z >0)            Mọi người thử xem có đúng không


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hà anh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh