Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$

hà anh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

cho a,b,c$\geq 1$

chứng minh rằng 

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$

dấu bằng xảy ra khi nào



#2
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

mình thử chứng minh xem mong mọi người xem xét

vì a,b,c$\geq 1$ nên ta có

$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a(a+1)}$

theo bất đẳng thức hoán vị ta có

$\sum \frac{1}{a(a+1)}\geq \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}$ (*)

bây giờ ta cần chứng minh$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (1)

đặt a=$\frac{ky}{x}$

b=$\frac{kz}{y}$

c=$\frac{kx}{z}$

ta có

(1)$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{kz}{y}+\frac{k^{2}x}{y}}\geq \frac{3}{1+k^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{y}{z+kx}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}$

áp dụng cauchy-sschwars

VT$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(k+1)(xy+yz+xz)}\geq \frac{3}{k+1}$

ta cần chứng minh thêm

$\frac{3}{k+1}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}\Leftrightarrow (k-1)^{2}(k+1)\geq 0$ (đúng )

vậy (1) đúng 

và từ (1)(*) ta được đpcm

p/s: có ai chứng minh được bđt (*) thì đăng lên cho mình nhé!



#3
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

theo mình thì chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ (tớ quy đồng ) .giả sử z=min{x;y;z}  sau đó xét $\frac{2}{1+xy}+\frac{1}{1+z^{2}}-\frac{3}{1+xyz}= \frac{2xy(z-1)}{(1+xy)(1+xyz)}+\frac{z(xy-z)}{(1+z^{2})(1+xyz)}\geq 0$ (do $z\geq 1$ và xy-z >0)            Mọi người thử xem có đúng không


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đầu tiên, ta có bổ đề: $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \geqslant 0$*đúng*

Như vậy, ta được: $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}\geqslant  \frac{2}{1+xyz}$* do $z\geqslant 1$ *

Tương tự: $\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\geqslant\frac{2}{1+xyz}$; $\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\geqslant\frac{2}{1+xyz}$

Cộng lại ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 :icon6:


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hà anh

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh