cho a,b,c$\geq 1$
chứng minh rằng
$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$
dấu bằng xảy ra khi nào
cho a,b,c$\geq 1$
chứng minh rằng
$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+abc}$
dấu bằng xảy ra khi nào
mình thử chứng minh xem mong mọi người xem xét
vì a,b,c$\geq 1$ nên ta có
$\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a(a+1)}$
theo bất đẳng thức hoán vị ta có
$\sum \frac{1}{a(a+1)}\geq \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}$ (*)
bây giờ ta cần chứng minh$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$ (1)
đặt a=$\frac{ky}{x}$
b=$\frac{kz}{y}$
c=$\frac{kx}{z}$
ta có
(1)$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{kz}{y}+\frac{k^{2}x}{y}}\geq \frac{3}{1+k^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{y}{z+kx}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}$
áp dụng cauchy-sschwars
VT$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(k+1)(xy+yz+xz)}\geq \frac{3}{k+1}$
ta cần chứng minh thêm
$\frac{3}{k+1}\geq \frac{3k}{1+k^{3}}\Leftrightarrow (k-1)^{2}(k+1)\geq 0$ (đúng )
vậy (1) đúng
và từ (1)(*) ta được đpcm
p/s: có ai chứng minh được bđt (*) thì đăng lên cho mình nhé!
theo mình thì chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ (tớ quy đồng ) .giả sử z=min{x;y;z} sau đó xét $\frac{2}{1+xy}+\frac{1}{1+z^{2}}-\frac{3}{1+xyz}= \frac{2xy(z-1)}{(1+xy)(1+xyz)}+\frac{z(xy-z)}{(1+z^{2})(1+xyz)}\geq 0$ (do $z\geq 1$ và xy-z >0) Mọi người thử xem có đúng không
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
Đầu tiên, ta có bổ đề: $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \geqslant 0$*đúng*
Như vậy, ta được: $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}\geqslant \frac{2}{1+xyz}$* do $z\geqslant 1$ *
Tương tự: $\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\geqslant\frac{2}{1+xyz}$; $\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\geqslant\frac{2}{1+xyz}$
Cộng lại ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh