1 reply to this topic

[durzaq]

Cho các số thực x,y thỏa mãn $x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}$

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

$S=(x+y)^2-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}$

Edited by durzaq, 07-10-2013 - 20:44.

[linhlun97]

Ta có $x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{(x-2+y+1)(2+1)}=\sqrt{3(x+y-1)}$ (bdt Bunhiakovski)

Suy ra $0\leq x+y-1\leq 3\Leftrightarrow 1\leq x+y=t\leq 4$

Xét$f(t)=t^2+\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}, t\in [1,4]$

$f'(t)=2t+\frac{1}{2\sqrt{9-t}}-\frac{1}{2\sqrt{t^3}}> 0 \forall t\in [1,4]$

Suy ra $f(t)$ đồng biến trên [1,4]

Max$f(t)= f(4)\Leftrightarrow x=4,y=-1$

Min $f(t)= f(1)\Leftrightarrow x=2,y=-1$