Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2013 - 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Câu 1 (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

 

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

 

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.

a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$

Đặt:

$$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$

Tìm $\lim S_n$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Câu 1

Giải

Đặt $t = \sqrt{(x + 4)(6 - x)} = \sqrt{-x^2 + 2x + 24}$.

Khi đó: $\forall$ $x \in [-4; 6]$ thì $t \in [0; 5]$

Ta có: $y = f(t) = - 2t^2 + 6t + 51$

Hàm số này có $f’(t) = -4t + 6; f’(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}$

Ta có: $f(0) = 51; f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{111}{2}; f(5) = 31$

Vậy: Trên đoạn [4; 6], $ Min_y = 31$ khi x = 1 và $Max_y = \dfrac{111}{2}$ khi $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{91}}{2}$

 

Câu 2. Phương trình tương đương:

$\sin{3x} - \cos{3x} + \sin{2x} + 1 - \cos{2x} + \sin{x} + \cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow 4(\sin{x} + \cos{x}) - 4(\sin^3{x} + \cos^3{x}) + 2\sin{x}\cos{x} + 2\sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2(\sin{x} + \cos{x})(2\sin{x}\cos{x} + \sin{x}) = 0$

 

 

Câu 3. ĐK: $x \geq 3; y \geq -1$

Từ phương trình (1), ta có: $(x - 1)^3 + 3(x - 1) = y^3 + 3y$

Xét hàm số để suy ra $x - 1 = y$. Thay vào (2) và giải bình thường.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 08-10-2013 - 13:50

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

Câu 1 (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

 

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

 

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.

a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$

Đặt:

$$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$

Tìm $\lim S_n$.

 

Câu 1: $y'=\dfrac{6-6x}{(x+4)(6-x)}+4x-4$

$y'=0\Rightarrow 4(x-1)\sqrt{(x+4)(6-x)}=6-6x$

$\Rightarrow -16x^4+64x^3+268x^2-664x+348=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(4x^2-8x-87)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
 x=1 \\
 x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})
\end{matrix}\right.$

Lập bảng biến thiên ta được $min_{y}=31$ tại $x=1,max_y=\frac{111}{2}$ tại $x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})$

Bài 2: $\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x+1=-2\sin 2x\sin x+\cos 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x=-2\sin 2x\sin x-2\sin^2 x$

$\Leftrightarrow 2\sin x(\cos 2x+\cos x+\sin 2x+\sin x)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin x\left[\cos \left(2x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{4} \right) \right]=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 x=k\pi \\
 x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\

 x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\

 x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi \\
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Phương trình (1) tương đương $(x-1)^3+3(x-1)=y^3+3y\Rightarrow y=x-1$

Thay vào phương trình (2) được $\sqrt{x-3}+\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=4$

Câu 5: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{6}(a_n-4)^2\ge 0$ nên $a_n$ là dãy tăng

$\lim x_n=+\infty$

$a_{n+1}-4=\frac{1}{6}(a_n+2)(a_n-4)\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-4}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_n+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_n-4}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_1-4}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-1$

$\Rightarrow \lim S_n=-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 08-10-2013 - 17:56

Link

 


#4
haiphong08

haiphong08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết

Câu 5: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{6}(a_n-4)^2\ge 0$ nên $a_n$ là dãy tăng

$\lim x_n=+\infty$

$a_{n+1}-4=\frac{1}{6}(a_n+2)(a_n-4)\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-4}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_n+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_n-4}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_1-4}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-1$

$\Rightarrow \lim S_n=-1$

 Câu này nhầm phải là

 

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_{n+1}-4}$

Và giới hạn

$\Rightarrow \lim S_n=1$

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh