Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2013 - 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-10-2013 - 11:31

Câu 1 (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

 

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

 

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.

a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$

Đặt:

$$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$

Tìm $\lim S_n$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 08-10-2013 - 13:38

Câu 1

Giải

Đặt $t = \sqrt{(x + 4)(6 - x)} = \sqrt{-x^2 + 2x + 24}$.

Khi đó: $\forall$ $x \in [-4; 6]$ thì $t \in [0; 5]$

Ta có: $y = f(t) = - 2t^2 + 6t + 51$

Hàm số này có $f’(t) = -4t + 6; f’(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}$

Ta có: $f(0) = 51; f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{111}{2}; f(5) = 31$

Vậy: Trên đoạn [4; 6], $ Min_y = 31$ khi x = 1 và $Max_y = \dfrac{111}{2}$ khi $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{91}}{2}$

 

Câu 2. Phương trình tương đương:

$\sin{3x} - \cos{3x} + \sin{2x} + 1 - \cos{2x} + \sin{x} + \cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow 4(\sin{x} + \cos{x}) - 4(\sin^3{x} + \cos^3{x}) + 2\sin{x}\cos{x} + 2\sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2(\sin{x} + \cos{x})(2\sin{x}\cos{x} + \sin{x}) = 0$

 

 

Câu 3. ĐK: $x \geq 3; y \geq -1$

Từ phương trình (1), ta có: $(x - 1)^3 + 3(x - 1) = y^3 + 3y$

Xét hàm số để suy ra $x - 1 = y$. Thay vào (2) và giải bình thường.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 08-10-2013 - 13:50

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 08-10-2013 - 13:58

Câu 1 (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

 

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

 

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.

a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$

Đặt:

$$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$

Tìm $\lim S_n$.

 

Câu 1: $y'=\dfrac{6-6x}{(x+4)(6-x)}+4x-4$

$y'=0\Rightarrow 4(x-1)\sqrt{(x+4)(6-x)}=6-6x$

$\Rightarrow -16x^4+64x^3+268x^2-664x+348=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(4x^2-8x-87)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
 x=1 \\
 x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})
\end{matrix}\right.$

Lập bảng biến thiên ta được $min_{y}=31$ tại $x=1,max_y=\frac{111}{2}$ tại $x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})$

Bài 2: $\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x+1=-2\sin 2x\sin x+\cos 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x=-2\sin 2x\sin x-2\sin^2 x$

$\Leftrightarrow 2\sin x(\cos 2x+\cos x+\sin 2x+\sin x)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin x\left[\cos \left(2x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{4} \right) \right]=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 x=k\pi \\
 x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\

 x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\

 x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi \\
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Phương trình (1) tương đương $(x-1)^3+3(x-1)=y^3+3y\Rightarrow y=x-1$

Thay vào phương trình (2) được $\sqrt{x-3}+\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=4$

Câu 5: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{6}(a_n-4)^2\ge 0$ nên $a_n$ là dãy tăng

$\lim x_n=+\infty$

$a_{n+1}-4=\frac{1}{6}(a_n+2)(a_n-4)\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-4}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_n+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_n-4}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_1-4}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-1$

$\Rightarrow \lim S_n=-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 08-10-2013 - 17:56

Link

 


#4 haiphong08

haiphong08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2013 - 11:35

Câu 5: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{6}(a_n-4)^2\ge 0$ nên $a_n$ là dãy tăng

$\lim x_n=+\infty$

$a_{n+1}-4=\frac{1}{6}(a_n+2)(a_n-4)\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-4}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_n+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_n-4}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_1-4}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-1$

$\Rightarrow \lim S_n=-1$

 Câu này nhầm phải là

 

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_{n+1}-4}$

Và giới hạn

$\Rightarrow \lim S_n=1$

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh