I. Giới thiệu về vi phân ứng dụng:
Trong thời đại của Issac Newton, một vấn đề đáng quan tâm đó là có quá ít phương tiện di chuyển bằng đường biển.
Nạn đắm tàu hay xảy ra vì con tàu không theo đúng ý muốn của thuyền trưởng. Khi đó chưa có sự hiểu biết nhiều về sự tương quan giữa Trái Đất, ngôi sao và các hành tinh chuyển động tương tác lẫn nhau.
Trước khi ngành vi tích phân phát triển, các ngôi sao ảnh hưởng đến sự sống còn của ngành hàng hải
Vi tích phân (vi phân và tích phân) được phát triển để thúc đẩy sự hiểu biết này.
Vi phân và tích phân có thể giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong thế giới thực.
Ta dùng đạo hàm để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm riêng biệt (ví dụ như giá tiền, độ dài, số lượng vật liệu dùng cho xây dựng, lợi ích, tổn thất,...).
Ta dễ bắt gặp phép tính đạo hàm trong các vấn để liên quan đến cơ khí và tin học, đặc biệt khi ta làm mô hình đặc điểm của một vật thể đang chuyển động.
Chúng ta bắt đầu nghiên cứu ứng dụng của vi phân với chương tiếp tuyến và pháp tuyến
II. Tiếp tuyến và pháp tuyến:
Có vai trò quan trọng trong ngành vật lý (như lực của chiếc xe khi rẽ ở khúc cua)
Thỉnh thoảng ta cần tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong khi ta phân tích 1 lực tác dụng lên 1 vật thể đang chuyển động.
Tiếp tuyến (tangents) của một đường cong là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại 1 điểm nằm trên đường cong đó, tiếp tuyến có độ dốc bằng với độ dốc của đường cong tại điểm đó.
Pháp tuyến (normals) của đường cong là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của đường cong
Chú ý 1: Như đã nghiên cứu trong bài độ dốc của tiếp tuyến với đường cong (số gần đúng), ta có thể tìm độ dốc của tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào $(x,y)$ thông qua $\frac{dy}{dx}$.
Chú ý 2: Để tìm phương trình tiếp tuyến, ta cần nhớ điều kiện để 2 đường thẳng có độ dốc lần lượt là $m_{1};m_{2}$ vuông góc nhau.
$$m_{1} \times m_{2}=-1$$
III. Ứng dụng:
Tiếp tuyến
1. Giả sử ta đi du lịch trên 1 chiếc xe hơi quanh khúc cua, bất chợt ta đụng vào một thứ gì đó trơn trượt trên đường (có thể là dầu, băng, nước hay cát mềm) và xe của ta bắt đầu trượt, thì chiếc xe sẽ di chuyển theo hướng tiếp tuyến với khúc cua đó.
Một chiếc xe trượt sau khi rẽ khúc cua tạo ra vệt tiếp tuyến với vạch kẻ đường đôi màu vàng
2. Tương tự, nếu ta cầm trái banh và ném chúng quanh 1 vật thể đang xoay tròn, trái banh ngay lập tức bay ra theo phương tiếp tuyến vật thể xoay tròn đó.
Pháp tuyến
1. Khi bạn lái xe nhanh theo đường tròn, lực khiến bạn cảm thấy như xe mình sắp rời khỏi đường tròn đó chính là pháp tuyến của đường cong con đường. Một điều khá thú vị là lực giúp bạn di chuyển vòng quanh khúc cua hướng thẳng về tâm đường tròn, pháp tuyến với đường tròn.
2. Căm bánh xe được đặt pháp tuyến với đường cong bánh xe ở những điểm có chỗ cho căm xe liên kết với tâm bánh xe.
Căm xe đạp được đặt pháp tuyến với vành bánh xe
IV. Ví dụ:
1. Tìm độ dốc của
a) Tiếp tuyến
b) Pháp tuyển
của đường cong $y=x^{3}-2x^{2}+5$ tại điểm $(2,5)$
Trả lời
2. Viết phương trình pháp tuyến ở ví dụ trên
Trả lời
3. Vẽ đồ thị và pháp tuyến ở ví dụ trên.
Trả lời
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Đạo hàm riêng
Bài tiếp: Công thức Newton
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 22-10-2013 - 22:15