Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

vòng 2

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 08-10-2013 - 12:17

ĐỀ THI HSG 12 YÊN BÁI

 

Câu 1 (5 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$

Câu 2 (4 điểm)
Giải phương trình


$64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$


Câu 3 (3 điểm)
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$

Câu 4 (5 điểm)
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.

2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá 500 m2 thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá 2014 m2,chứa tất cả các cây thông này.

Câu 5 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:


$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$



KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI

HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014


Ngày thi thứ nhất (22/10/2013)

Câu 1 (5 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 11\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x}\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^{3}+y^{2}-2y-4 \end{matrix}\right.$

Câu 2 (4 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi: $\left\{(x_{n})\begin{matrix} x_{1}=\frac{1}{4}\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}}{1+2x_{n}+2\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}}},\forall n\in \mathbb{N}* \end{matrix}\right.$
Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{k}$. Tìm $\lim y_{n}$.

Câu 3 (5 điểm)
Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $P$ kẻ hai tiếp tuyến $PA,PB$ với $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $CA>CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE,BCD,PCO$ thẳng hàng.

Câu 4 (3 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{x}-y^{2}-2y+64=0$

Câu 5 (3 điểm)
Cho $10$ số nguyên dương $a_{1},a_{2},...,a_{10}$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_{i}\in \left \{ -1;0;1 \right \}$ không đồng thời bằng $0$ với $i=1,2,...,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_{i}a_{i}$ chia hết cho $1023$.

Ngày thi thứ hai (23/10/2013)

Câu 1 (5 điểm)
Cho $2013$ số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{2013}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}+...+x_{2013}<1$
Chứng minh rằng


$\frac{x_{1}x_{2}...x_{2013}\left [ 1-\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right ) \right ]}{\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right )\left ( 1-x_{1} \right )\left ( 1-x_{2} \right )...\left ( 1-x_{2013} \right )}\leq \frac{1}{2013^{2014}}$


Câu 2 (5 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a (a>0)\\ x_{n+1}=\ln (1+2 e^{-x_{n}}),\forall n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Câu 3 (5 điểm)
Bên trong hình vuông $ABCD$, lấy điểm $M$ không trùng với giao của hai đường chéo. Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $BC,CD$. Giả sử $MA=PQ$ và $MA\perp PQ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AM,BQ,DP$ đồng quy.

Câu 4 (5 điểm)
a) Cho dãy số: $1,101,10101,1010101,...$. Tìm các số hạng trong dãy là số nguyên tố.
b) Hoàng tử muốn cứu công chúa khỏi một con rồng có $100$ cái đầu. Hoàng tử có $2$ thanh kiếm. Nếu dùng thanh kiếm thứ nhất thì mỗi lần chặt được đúng và chỉ đúng $21$ cái đầu. Nếu dùng thanh kiếm thứ hai thì mỗi lần chặt được đúng và chỉ đúng $5$ cái đầu nhưng con rồng lại mọc lên $2014$ cái đầu khác. Hoàng tử sẽ cứu được công chúa nếu toàn bộ số đầu rồng bị chặt hết. Hỏi chỉ với hai thanh kiếm trên hoàng tử có thể cứu được công chúa hay không? Vì sao?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-10-2013 - 09:11


#2 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 08-10-2013 - 19:35

Câu 5 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{y} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right )\ \ (1),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$

Bài này thế đơn thuần thôi :). Mà cái điều kiện đầu tiên hơn yếu thì phải?
---
Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn điều kiện bài toán:

- Ở $(1)$ cho $x=2014;y=1\rightarrow f(2014)=\dfrac{1}{2}$
- Ở $(1)$ cho $y=1\rightarrow f(x)=\dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f\left ( \frac{2014}{x} \right )\Leftrightarrow f(x)=f\left ( \frac{2014}{x} \right )\ \ (2)$
- Ở $(1)$ cho $x=y\rightarrow f(x^2)=2f(x)f\left( \frac{2014}{x} \right )=2f(x)^2\ \ (3)$
 
- Kết hợp $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:
$$f(xy)=f(x)^2+f(y)^2\ \ (4)$$
và $$f(xy)=\dfrac{f(x^2)+f(y^2)}{2}\ \ (5)$$
Từ đây suy ra:
$$f(xy)=^{(4)}f(x)^2+f(y)^2=^{(3)}2f(\sqrt{xy})^2=^{(5)}2\left (\dfrac{f(x)+f(y)}{2} \right)^2\\ \Leftrightarrow (f(x)-f(y))^2=0\Leftrightarrow f(x)=f(y) \forall x,y>0\\ \Leftrightarrow f\equiv C$$
Mà $f(1)=\dfrac{1}{2}\rightarrow $$C=\dfrac{1/2}$. Thử lại thấy $f\equiv \dfrac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện bài toán.
 
Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}$ là hàm số cần tìm. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 08-10-2013 - 19:54

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 12-10-2013 - 20:12



Câu 1 (5 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$

 

ĐK :$xy \neq 0$

Xét hàm $f(t)=t-\frac{1}{t^3}$  ,$t\neq 0$

              $f'(t)=1+3t^{-4}>0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến với mọi $t\neq 0$

Nên pt (1) $\Leftrightarrow x=y$

Do vậy $(2)\Leftrightarrow -3y.(y+4)=-36\Leftrightarrow y=2 \vee y=-6$

Vậy $S={(2;2);(-6;-6)}$


Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#4 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-10-2013 - 23:21

Câu 4 hoàn toàn có thể dùng định lý hàm cos để chặn :)

Từ giả thiết suy ra $AC$ lớn nhất khi $- \cos \angle ABC$ lớn nhất.

Lại có $AC = AD$ và $BD$ lớn nhất khi $AD$ và $- \cos \angle BAD$ lớn nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 30-10-2013 - 01:15

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#5 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 14-10-2013 - 05:53

Từ đây suy ra:
$$f(xy)=^{(4)}f(x)^2+f(y)^2=^{(3)}2f(\sqrt{xy})^2$$

 

Biến ở VT xác định trên $\mathbb{R}$ biến ở VP có tập giá trị trên $[0;+\infty)$. Lời giải trên chưa chặt chẽ. Phải giải thêm một trường hợp nữa mới được.

 

Dạng bài này xuất hiện khá nhiều. Thế $x=\frac{2014}{y}$ là được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 14-10-2013 - 06:04

ĐCG !

#6 nguyenvantrang2009

nguyenvantrang2009

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 14-10-2013 - 17:06

ĐK :$xy \neq 0$

Xét hàm $f(t)=t-\frac{1}{t^3}$  ,$t\neq 0$

              $f'(t)=1+3t^{-4}>0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến với mọi $t\neq 0$

Nên pt (1) $\Leftrightarrow x=y$

Do vậy $(2)\Leftrightarrow -3y.(y+4)=-36\Leftrightarrow y=2 \vee y=-6$

Vậy $S={(2;2);(-6;-6)}$

Tập $(-\infty;0) (0;+\infty)$ không liên tục - dùng hàm số đồng biến hình như không ổn. 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenvantrang2009: 14-10-2013 - 17:07


#7 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 16-10-2013 - 18:16



Biến ở VT xác định trên $\mathbb{R}$ biến ở VP có tập giá trị trên $[0;+\infty)$. Lời giải trên chưa chặt chẽ. Phải giải thêm một trường hợp nữa mới được.

 

Dạng bài này xuất hiện khá nhiều. Thế $x=\frac{2014}{y}$ là được.

Mình không hiểu ý bạn lắm, $f$ ở đây lấy giá trị đối số trên $(0;+\infty)$ mà? Tất nhiên là ở đẳng thức bạn trích dẫn mình đều đang lấy $x,y>0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 16-10-2013 - 18:19

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#8 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 22-10-2013 - 13:10

Câu 1:(5đ)

 

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

 

Câu 3: (5đ)

 

Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến $PA, PB$ với $(O)$ (A và B là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $(CA > CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của 3 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE, BCD, PCO$ thẳng hàng.

 

Cẫu 4(3đ)

 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-y^2-2y+64=0$

 

 

Cậu 5: (3đ)

 

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$  không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

 

Đề thi chọn đội tuyển QG tỉnh Yên Bái 2013-2014 (Vòng 2)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 22-10-2013 - 13:15

Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#9 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 22-10-2013 - 13:42

Cẫu 4(3đ)

 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-y^2-2y+64=0$

 

Đặt $y+1=t$ thì được : $$2^{x}=t^{2}-65$$

Xét đồng dư modulo $5$ : $2^{x}=t^{2}-65\equiv 0;1;4\;(mod\;5)\Rightarrow x\equiv 0,2\;(mod\;4)$

Suy ra $x$ chẵn, đặt $x=2k$, được phương trình ước : 

$$(t-2^k)(t+2^k)=65$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#10 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 22-10-2013 - 15:25

 

 

 

Cậu 5: (3đ)

 

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$  không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

 

 

 

 

Giải.

 

Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.

Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$

Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.


ĐCG !

#11 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 22-10-2013 - 17:48

Câu 1:(5đ)

 

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

 

 

 

Câu dãy chứng minh được $x_n \to 0$. Suy ra $\frac{\sum x_k}{n} \to 0$. :|


ĐCG !

#12 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 23-10-2013 - 15:51

Bài 1 ngày 2 xem ở đây: http://forum.mathsco...ead.php?t=14121


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 23-10-2013 - 16:01


#13 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 23-10-2013 - 17:02

Ngày thi thứ hai (23/10/2013)

 

Câu 1 (5 điểm)

Cho $2013$ số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{2013}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}+...+x_{2013}<1$

Chứng minh rằng

$\frac{x_{1}x_{2}...x_{2013}\left [ 1-\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right ) \right ]}{\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right )\left ( 1-x_{1} \right )\left ( 1-x_{2} \right )...\left ( 1-x_{2013} \right )}\leq \frac{1}{2013^{2014}}$

 

 

 

 

Ta đặt $x_{2014}=1-\sum_{i=1}^{2013}x_i>0$

ta cần chứng minh $2013^{2014}\prod_{i=1}^{2014}x_i\leq \prod_{i=1}^{2014}(1-x_i)$

 

mà $1-x_k=\sum_{i=1;i\neq k}^{2014}x_i\geq 2013\sqrt[2013]{\prod_{i=1;i\neq k}^{2014}x_i}$

 

nhân $2014$ bất đẳng thức như vậy lại với nhau ta được đpcm!

 

$=$ xảy ra khi $x_i=\frac{1}{2014};i=\overline{1..2013}$.

p/s: Đây là bài cụ thể với $n=2013$ tổng quát bài toán là 

 

$\frac{a_1a_2...a_n(1-(a_1+a_2+..+a_n))}{(a_1+a_2+..+a_n)(1-a_1)(1-a_2)..(1-a_n)}\leq \frac{1}{n^{n+1}}$

 

(trích từ MATHMAGAZINE, $10-1998$)


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#14 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 23-10-2013 - 17:23

 

 

Câu 2 (5 điểm)

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a (a>0)\\ x_{n+1}=\ln (1+2 e^{-x_{n}}),\forall n=1,2,... \end{matrix}\right.$

Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

 

 

Dễ thấy dãy $x_n$ luôn dương.Đặt $y_n=e^{x_n}$

 

$\Rightarrow y_{n+1}=\frac{y_n+2}{y_n}$. Dãy này quá quen thuộc hội tụ về $2$ suy ra dãy đã cho hội tụ về $ln2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 23-10-2013 - 17:24

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#15 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 23-10-2013 - 17:41

 

 

 

Câu 4 (3 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{x}-y^{2}-2y+64=0$

 

 

 

 

Câu 4: Phương trình tương đương $$2^{x}=(y+1)^2+63$$

Dễ thấy $2|2^{x}$ với nguyên dương và $(y+1)^2+63 \not\equiv 0 (\mod 2)$. Suy ra phương trình vô nghiệm $\blacksquare$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 23-10-2013 - 17:47

ĐCG !

#16 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 23-10-2013 - 17:55

Câu 4: Phương trình tương đương $$2^{x}=(y+1)^2+63$$

Dễ thấy $2|2^{x}$ với nguyên dương và $(y+1)^2+63 \not\equiv 0 (\mod 2)$. Suy ra phương trình vô nghiệm $\blacksquare$.

phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ

 

sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 23-10-2013 - 18:07

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#17 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 23-10-2013 - 18:28

phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ

 

sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó

 

Mình nhầm, sửa lại một chút, tưởng bài này ngon :P

 

Phương trình tương đương $$2^x+65=(y+1)^2$$

 

+ Nếu $(y+1)^2 \equiv 0 (\mod 2)$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $(y+1)^2 \not\equiv 0 (\mod 2)$ thì đặt $t=y+1$, và $ t^2 \not\equiv 0(\mod 2)$.

Viết lại phương trình dưới dạng $$2^x+65=t^2$$

 

Vì $t^2 \equiv 1;4 (\mod 5)$ nên $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$. Tính $2^1;2^2;...$ thì suy ra $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$ suy ra $x \equiv 0;2 (\mod 4)$.

 

Nên $x$ chẵn. Suy ra $$\left (2^{\frac{x}{2}}-t \right) \left (2^{\frac{x}{2}} +t \right) =-65$$

 

Dễ có $-65=-65.1=-5.13$. Vì $t;x>0$. Đến đây giải hệ là được.


ĐCG !

#18 nghiakvnvsdt

nghiakvnvsdt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Trung Trực, Rạch Giá, Kiên Giang

Đã gửi 23-10-2013 - 22:31

Câu 1 (5 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 11\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x}\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^{3}+y^{2}-2y-4 \end{matrix}\right.$

 

 

Điều kiện: $2\leq x\leq 3, y\leq 2$

Phương Trình $(1) <=> 3(\sqrt{3-x})^3+2\sqrt{3-x}=3(\sqrt{2-y})^3+2\sqrt{2-y}$

 

$<=> \sqrt{3-x}=\sqrt{2-y} <=> y=x-1$ Thế vào $(2)$ ta có:

$(2) <=> \sqrt{x-2} + \sqrt{3-x} = x^3+x^2-4x-1$ 

Dễ thấy $ 1\leq VT\leq \sqrt{2}$ $(3)$

Xét hàm số $x^3+x^2-4x-1 với  2\leq x\leq 3$

ta có: $f'(x)=3x^2+2x-4 >0 với  2\leq x\leq 3$

$=> f(x) $đồng biến trên $2\leq x\leq 3$

do đó $VP=f(x)\geq f(2)= 3$ $(4)$

Từ $(3),(4) =>$ pt vô nghiệm. Do đó Hệ đã cho vô nghiệm!



#19 vuivn

vuivn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-10-2013 - 21:45

cau 2 thi sao



#20 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 28-10-2013 - 17:37

Điều kiện: $2\leq x\leq 3, y\leq 2$

Phương Trình $(1) <=> 3(\sqrt{3-x})^3+2\sqrt{3-x}=3(\sqrt{2-y})^3+2\sqrt{2-y}$

 

$<=> \sqrt{3-x}=\sqrt{2-y} <=> y=x-1$ Thế vào $(2)$ ta có:

$(2) <=> \sqrt{x-2} + \sqrt{3-x} = x^3+x^2-4x-1$ 

Dễ thấy $ 1\leq VT\leq \sqrt{2}$ $(3)$

Xét hàm số $x^3+x^2-4x-1 với  2\leq x\leq 3$

ta có: $f'(x)=3x^2+2x-4 >0 với  2\leq x\leq 3$

$=> f(x) $đồng biến trên $2\leq x\leq 3$

do đó $VP=f(x)\geq f(2)= 3$ $(4)$

Từ $(3),(4) =>$ pt vô nghiệm. Do đó Hệ đã cho vô nghiệm!

Sai rồi bạn ơi phương trình có nghiệm $(2;1), (-1;-2)$ cơ mà


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh