Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 08-10-2013 - 17:38

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
 
Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định

Đã gửi 08-10-2013 - 19:35

 

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
 
Mathcope.o

ĐKXĐ:$y\ne 0$

Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$

Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$

$\Rightarrow 0<y\le 1$

Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$

$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$

$$\ge 125 (AM-GM)$$

Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$

Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$

 

 

 
 
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
 

Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$

Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$

$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$

_____________

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 08-10-2013 - 19:36

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#3 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 08-10-2013 - 22:00

Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.

Mathcope.org

Xin mượn lời giải của anh quocbaolqd11

Ban đầu, gọi $x_i$ là toạ độ của bạn nam thứ $i$, $y_i$ là toạ độ của bạn nữ thứ $i$

$A_n$, $B_n$ lần lượt là tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới và giữa hai bạn khác giới.

Xét $n=1$: dễ dàng CM được

Giả sử $A_k<B_k$

Xét $n=k+1$:

$A_{k+1}=A_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i + y_{k+1}-y_i \right |\right )$

$B_{k+1}=B_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i \right | +\left | y_{k+1}-y_i \right |\right )$

$A_{k+1}<B_{k+1}$

Suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 08-10-2013 - 22:01


#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 11-10-2013 - 19:45

 

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
 
Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org

 

4,

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{13}(x_{n}-3)^{2}> 0,\forall n\geq 1$

Nên dãy $(x_{n})$ là dãy số tăng và có $limx_{n}=+\infty$ . Ngoài ra còn có :

$\frac{1}{x_{n}+10}=\frac{1}{x_{n}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$

Hay $S_{n}=\frac{1}{x_{1}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$

Vậy $limS_{n}=\frac{1}{17}$$limS_{n}=\frac{1}{17}$



#5 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 11-10-2013 - 21:04

Bài 2. $DE$ cắt $AI$ tại $K'$,theo tính chất quen thuộc $BK'\perp AI$.

$GF$ cắt $AI$ tại $K$.
$\angle I_{a}KG=180^{\circ}-(90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2})-(90^{\circ}-\dfrac{\angle C}{2})=\angle FBI_{a}$với $I_{a}$ là tâm bàng tiếp góc $A$.
nên $BK\perp AI$
Do đó $K\equiv K'$.
Hay $GF,DE$ cắt nhau tại $K$ mà $BKI_{a}=90^{\circ}$. 
$K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $BFH$ do cùng thuộc đường tròn đường kính $BI_{a}$ nên có đpcm.

 



#6 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 11-10-2013 - 21:08

 

 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.

 

 

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Chỗ màu đỏ phải là F :)



#7 trantrungnguyen

trantrungnguyen

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 19-06-2014 - 00:43

ko ai giai bai da thuc a 



#8 Farm Dutch House

Farm Dutch House

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bến Tre
  • Sở thích:Toán-Game-Bóng đá

Đã gửi 30-01-2020 - 12:40

Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?

 

 
 

Đặt $f(x)=(x-a)^{2014}$

$f(x^2-2013)=(x^2-2013-a)^{2014}$

Chọn a sao cho:

$2013+a=a^2$

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh