Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014
#1
Đã gửi 08-10-2013 - 17:38
- nguyenduchung1, linhlun97, IloveMaths và 5 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 08-10-2013 - 19:35
Bài 1. Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$Mathcope.o
ĐKXĐ:$y\ne 0$
Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$
Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$
$\Rightarrow 0<y\le 1$
Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$
$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$
$$\ge 125 (AM-GM)$$
Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$
Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Đặt$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$
Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$
$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$
Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$
$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$
_____________
p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 08-10-2013 - 19:36
- Zaraki, LNH, etucgnaohtn và 2 người khác yêu thích
-----------------------------------------------------
#3
Đã gửi 08-10-2013 - 22:00
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org
Xin mượn lời giải của anh quocbaolqd11
Ban đầu, gọi $x_i$ là toạ độ của bạn nam thứ $i$, $y_i$ là toạ độ của bạn nữ thứ $i$
$A_n$, $B_n$ lần lượt là tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới và giữa hai bạn khác giới.
Xét $n=1$: dễ dàng CM được
Giả sử $A_k<B_k$
Xét $n=k+1$:
$A_{k+1}=A_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i + y_{k+1}-y_i \right |\right )$
$B_{k+1}=B_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i \right | +\left | y_{k+1}-y_i \right |\right )$
$A_{k+1}<B_{k+1}$
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 08-10-2013 - 22:01
- Zaraki và AnnieSally thích
#4
Đã gửi 11-10-2013 - 19:45
Bài 1. Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Đặt$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.Mathcope.org
4,
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{13}(x_{n}-3)^{2}> 0,\forall n\geq 1$
Nên dãy $(x_{n})$ là dãy số tăng và có $limx_{n}=+\infty$ . Ngoài ra còn có :
$\frac{1}{x_{n}+10}=\frac{1}{x_{n}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$
Hay $S_{n}=\frac{1}{x_{1}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$
Vậy $limS_{n}=\frac{1}{17}$$limS_{n}=\frac{1}{17}$
- HungHuynh2508, BlackSweet và l4lzTeoz thích
#5
Đã gửi 11-10-2013 - 21:04
Bài 2. $DE$ cắt $AI$ tại $K'$,theo tính chất quen thuộc $BK'\perp AI$.
- yeutoan11, IloveMaths, LNH và 7 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 11-10-2013 - 21:08
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha
Chỗ màu đỏ phải là F
- yeutoan11 và Phan Thi Kim Anh thích
#7
Đã gửi 19-06-2014 - 00:43
ko ai giai bai da thuc a
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh