Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
 
Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết

 

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
 
Mathcope.o

ĐKXĐ:$y\ne 0$

Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$

Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$

$\Rightarrow 0<y\le 1$

Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$

$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$

$$\ge 125 (AM-GM)$$

Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$

Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$

 

 

 
 
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
 

Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$

Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$

$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$

$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$

_____________

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 08-10-2013 - 19:36

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#3
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.

Mathcope.org

Xin mượn lời giải của anh quocbaolqd11

Ban đầu, gọi $x_i$ là toạ độ của bạn nam thứ $i$, $y_i$ là toạ độ của bạn nữ thứ $i$

$A_n$, $B_n$ lần lượt là tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới và giữa hai bạn khác giới.

Xét $n=1$: dễ dàng CM được

Giả sử $A_k<B_k$

Xét $n=k+1$:

$A_{k+1}=A_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i + y_{k+1}-y_i \right |\right )$

$B_{k+1}=B_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i \right | +\left | y_{k+1}-y_i \right |\right )$

$A_{k+1}<B_{k+1}$

Suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 08-10-2013 - 22:01


#4
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

 

 
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
 
Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?
 
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn
$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Đặt
$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad   \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$
Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
 
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org

 

4,

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{13}(x_{n}-3)^{2}> 0,\forall n\geq 1$

Nên dãy $(x_{n})$ là dãy số tăng và có $limx_{n}=+\infty$ . Ngoài ra còn có :

$\frac{1}{x_{n}+10}=\frac{1}{x_{n}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$

Hay $S_{n}=\frac{1}{x_{1}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$

Vậy $limS_{n}=\frac{1}{17}$$limS_{n}=\frac{1}{17}$



#5
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

Bài 2. $DE$ cắt $AI$ tại $K'$,theo tính chất quen thuộc $BK'\perp AI$.

$GF$ cắt $AI$ tại $K$.
$\angle I_{a}KG=180^{\circ}-(90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2})-(90^{\circ}-\dfrac{\angle C}{2})=\angle FBI_{a}$với $I_{a}$ là tâm bàng tiếp góc $A$.
nên $BK\perp AI$
Do đó $K\equiv K'$.
Hay $GF,DE$ cắt nhau tại $K$ mà $BKI_{a}=90^{\circ}$. 
$K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $BFH$ do cùng thuộc đường tròn đường kính $BI_{a}$ nên có đpcm.

 



#6
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

 

 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.

 

 

p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Chỗ màu đỏ phải là F :)



#7
trantrungnguyen

trantrungnguyen

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

ko ai giai bai da thuc a 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh