Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận

 

Môn toán

 

Thời gian làm bài : 180 phút

 

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 1 ( 4 điểm )

Giải phương trình

$\frac{3x^{2}}{2}-x+2=\sqrt{4x+1}+\sqrt{2x^{2}+1}$.

 

Câu 2 ( 3 điểm )

Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ được xác định bởi : $a_{0}=a_{1}=1, a_{n+2}=14a_{n+1}-a_{n}$ với $n\geq 0$. 

Chứng minh rằng $2a_{n}-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

 

Câu 3 ( 3 điểm )

a/. Có 2013 người xếp thành hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1006 người sao cho không có hai người liên tiếp trên hàng dọc đó được chọn ?.

b/. Xét 2013 người đó ngồi trên 1 bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1006 người sao cho không có hai người liên tiếp trên bàn tròn đó được chọn ?.

 

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho $n\in \mathbb{N}, n\geq 3$. 

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số nguyên dương lẻ $x, y$ thỏa mãn phương trình : 

$7x^{2}+y^{2}=2^{n}$.

 

Câu 5 ( 4 điểm )

Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $AD$, đường thẳng $\left ( d \right )$ vuông góc với đường thẳng $AD$. Xét điểm $M$ trên $\left ( d \right )$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $MB$ và $MC$. Đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc với $\left ( d \right )$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$, đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc với $\left ( d \right )$ cắt đường thẳng $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định, khi $M$ di động trên $\left ( d \right )$.

 

Câu 6 ( 3 điểm )

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$f\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{f\left ( x \right )}{x}$

 

và 

$f\left ( \frac{x+y}{xy} \right )=\frac{f\left ( x \right )}{x}+\frac{f\left ( y \right )}{y}-1$, với mọi $x, y \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-10-2013 - 17:50

[BlackSelena]

Câu 5 bê nguyên trong Tài liệu chuyên toán 10 hình học ra kìa -,-

[linhlun97]

Bài 2 nha mọi người

$a_{n+2}-7a_{n+1}=7a_{n+1}-a_n$

$\Rightarrow$(a_{n+2}-7a_{n+1})^2=2^2.3(2a_{n+1}-1)(2a_{n+1}+1)$=(7a_{n+1}-a_n)^2$

$a_{n+2}^2-14a_{n+2}.a_{n+1}=-14a_{n+1}.a_n+a_n^2$

Cho n chạy từ 1 dến n

Ta thu được $a_{n+2}^2+a_{n+1}^2-14a_{n+2}.a_{n+1}=a_1^2+a_0^2-14a_1a_0=-12$

$(a_{n+2}-7a_{n+1})^2=2^2.3(2a_{n+1}-1)(2a_{n+1}+1)$

suy ra $(2a_{n+1}-1)(2a_{n+1}+1)=3m^2$

$gcd(2a_{n+1}-1,2a_{n+1}+1)=1$

Và $(2a_{n+1}+1)\vdots 3$(quy nạp)

$\Rightarrow (2a_{n+1}+1)=3x,x\in \mathbb{Z}$

Suy ra $(2a_{n+1}-1).x=m^2$

Mà $(2a_{n+1}-1,x)=1$

=>dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhlun97: 08-10-2013 - 22:17

[PT42]

Câu 2

Dãy số có phương trình đặc trưng là $x^{2} - 14x + 1 = 0$

Phương trình này có 2 nghiệm $x_{1} = 7 + 4\sqrt{3}, x_{2} = 7 - 4\sqrt{3}$

$\Rightarrow a_{n} = \alpha . (7 + 4\sqrt{3})^{n} + \beta. (7 - 4\sqrt{3})^{n}$

Trong đó $\left\{\begin{matrix} a_{0} = \alpha + \beta = 1\\a_{1} = (7 + 4\sqrt{3}).\alpha + (7 - 4\sqrt{3})\beta = 1 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $\alpha = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}, \beta = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow a_{n} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}. (7 + 4\sqrt{3})^{n} + \frac{2 + \sqrt{3}}{4}. (7 - 4\sqrt{3})^{n}$

 

$\Rightarrow 2a_{n} - 1 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}. (7 + 4\sqrt{3})^{n} + \frac{2 + \sqrt{3}}{2}. (7 - 4\sqrt{3})^{n} - 2$

= $ \left (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}. (2 + \sqrt{3})^{n} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}. (2 - \sqrt{3})^{n} \right )^{2}$

(đặt) = $b_{n}^{2}$

 

Trong đó : $\left\{\begin{matrix} b_{0} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 1\\b_{1} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} . (2 + \sqrt{3}) + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}. ( 2 - \sqrt{3}) = -1 \\b_{n + 2} = 4b_{n + 1} - b_{n} \end{matrix}\right.$

( vì $2 + \sqrt{3}$ và $2 - \sqrt{3}$ là 2 nghiệm của phương trình $y^{2}- 4y + 1 = 0$)

 

$\Rightarrow b_{n}$ là số nguyên hay $2a_{n} - 1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 09-10-2013 - 09:23