Cho x, y nguyên dương và x+y=2011. Tìm GTLN, GTNN của $P=x\left ( x^{2}+y \right )+y\left ( y^{2}+x \right )$
Tìm GTLN, GTNN của $P=x\left ( x^{2}+y \right )+y\left ( y^{2}+x \right )$
Bắt đầu bởi Ngoc Hung, 09-10-2013 - 04:40
#2
Đã gửi 09-10-2013 - 18:07
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho x, y nguyên dương và x+y=2011. Tìm GTLN, GTNN của $P=x\left ( x^{2}+y \right )+y\left ( y^{2}+x \right )$
Lời giải. Ta có $$P=x^3+y^3+2xy= 2011(x^2-xy+y^2)+2xy= 2011(x^2+y^2)-2009xy= \dfrac{2009}{2}(x-y)^2+ \dfrac{2013}{2}(x^2+y^2) \ge \dfrac{2013}{2} \cdot \dfrac{(x+y)^2}{2} \ge \dfrac{2013 \cdot 2011^2}{4}.$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \dfrac{2011}{2}$. $\blacksquare$
- nangbuon và Thu Huyen 21 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 09-10-2013 - 20:28
linhlun97
-
- Thành viên
-
- 63 Bài viết
Hạ sĩ
Lời giải. Ta có $$P=x^3+y^3+2xy= 2011(x^2-xy+y^2)+2xy= 2011(x^2+y^2)-2009xy= \dfrac{2009}{2}(x-y)^2+ \dfrac{2013}{2}(x^2+y^2) \ge \dfrac{2013}{2} \cdot \dfrac{(x+y)^2}{2} \ge \dfrac{2013 \cdot 2011^2}{4}.$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \dfrac{2011}{2}$. $\blacksquare$
$x,y$ nguyên dương mà bạn
#4
Đã gửi 09-10-2013 - 21:01
duaconcuachua98
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Cho x, y nguyên dương và x+y=2011. Tìm GTLN, GTNN của $P=x\left ( x^{2}+y \right )+y\left ( y^{2}+x \right )$
Trong các số tự nhiên mà các cặp số có tổng bằng nhau thì tích giữa 2 số tự nhiên có hiệu của chúng nhỏ nhất thì lớn nhất và ngược lại
Ta có: $P=x^{3}+y^{3}+2xy=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+2xy=2011^{3}-6031xy$
Áp dụng điều trên ta được $\left\{\begin{matrix} \max xy=1005.1006=1011030\Rightarrow \min P= 2035205401 & & \\ \min xy=1.2000=2000\Rightarrow \max P=8120665331 & & \end{matrix}\right.$
- Zaraki, deathavailable, canhhoang30011999 và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
