Chủ đề này có 3 trả lời

[yeumontoan]

cho các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[Hoang Tung 126]

Ta có :$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)= > 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)= > a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a= > P\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2+\frac{\frac{9}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}{a^2+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{1}{2}=(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)})+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{1}{2}\geq 2\sqrt{\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{4(a^2+b^2+c^2)}}+\frac{(a+b+c)^2}{6}-\frac{1}{2}=3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4= > P Min=4< = > a=b=c=1$

[wolfnight1997]

sao bạn lại có cái này v

 

 :$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

[Rias Gremory]

sao bạn lại có cái này v

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+ab^{2})+(b^{3}+bc^{2})+(c^{3}+ca^{2})+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$