Cho $x^{2}+y^{2}-xy=1$. Tìm GTNN của M=$x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2}$
#1
Đã gửi 09-10-2013 - 12:17
SPhuThuyS
-
- Thành viên
-
- 127 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 09-10-2013 - 13:00
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Đặt xy = t
Từ giả thiết, ta có: $(x + y)^2 = 3xy + 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{-1}{3}$
Mặt khác: $xy = x^2 + y^2 - 1 \geq 2xy - 1 \Rightarrow t \leq 1$
Ta có:
$M = x^4 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 $
$M = (t + 1)^2 - 3t^2 = -2t^2 + 2t + 1 = -\dfrac{2}{3}(3t + 1)(t - 1) + \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3}$
Vì $\dfrac{-1}{3} \leq t \leq 1 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) \leq 0$
Vậy: $M \geq \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{1}{9}$
Kết luận: $Min_M = \dfrac{1}{9}$ khi $x = - y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và ngược lại.
- Kaitou Kid 1412, SPhuThuyS và datcoi961999 thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
