Đến nội dung

Hình ảnh

bất đẳng thức dãy số $ v_1 + v_2 + ... + v_n < 2014 $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

c.gif

đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungvuhuu: 09-10-2013 - 21:21


#2
tranphuonganh97

tranphuonganh97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

attachicon.gifc.gif

đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ 

a. Chứng minh bằng phương pháp Quy nạp. 

- Với $n=1$ có: $u_2=\frac{2^2}{2014}+\frac{2013.2}{2014}=\frac{2.2015}{2014}>2=u_1$

=> dãy $u_n$ tăng với $n=1$

- Giả sử dãy $u_n$ tăng với $n=k (k\in N^*)$

=> $u_{k+1}>u_k>....>u_1>0$

- Ta cần chứng minh dãy $u_n$ tăng với $n=k+1$

Tức là cần chứng minh $u_{k+2}>u_{k+1}$ $(1)$

Thật vậy :

$(1)$ <=> $\frac{u_{k+1}^2+2013u_{k+1}}{2014}>\frac{u_{k}^2+2013u_{k}}{2014}$

<=> ${u_{k+1}^2+2013u_{k+1}}>u_{k}^2+2013u_{k}$

<=> $(u_{k+1}-u_{k})(u_{k+1}+u_k+2013)>0$ $(2)$

mà $u_{k+1}>u_{k}>0$ => $\left\{\begin{matrix} u_{k+1}-u_{k}>0\\ u_{k+1}+u_k+2013 \end{matrix}\right.$ 

=> $(2)$ luôn đúng 

Vậy dãy $u_n$ tăng với $n\in N^*$


Đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi. Mà khó vì lòng người ngại núi e sông. !

 

 


#3
tranphuonganh97

tranphuonganh97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

attachicon.gifc.gif

đề thi hsg toán 12 thành phố hà nội 2013, anh chị em có cách giải câu b giúp với ạ 

b. 

Có: $u_{n+1}-1=\frac{u_n^2+2013-2014}{2014}=\frac{(u_n-1)(u_{n}+2014)}{2014}$

=> $\frac{u_n+2014}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}$

=> $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}$

Do đó : $v_1+v_2+...+v_n=\frac{2014}{u_1-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}=2014-\frac{2014}{u_{n+1}-1}<2014$

=> đpcm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphuonganh97: 10-10-2013 - 20:25

Đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi. Mà khó vì lòng người ngại núi e sông. !

 

 


#4
linhlun97

linhlun97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

b. 

Có: $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014u_n}{u_n^2+2013u_n-2014}=\frac{2014u_n}{(u_n-1)(u_n+2014)}$

Do đó : $v_1+v_2+...+v_n<2014$

<=> $\sum _{k=1}^{n}\frac{2014u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2014$

<=>  $\sum _{k=1}^{n}\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2015$ $(1)$

mà $\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{(u_{k}+2014)-(u_k-1)}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_k+2014}$

=> $v_1+v_2+....+v_n=1-\frac{1}{u_k+2014}$

Do đó $(1)$ <=> $\frac{1}{u_k+2014}>-2014$ (luôn đúng vì $\frac{1}{u_k+2014}>0.-2014$)

Bạn xem hộ mình chỗ bôi đỏ, mình chưa rõ lắm



#5
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

mà $\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{(u_{k}+2014)-(u_k-1)}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_k+2014}$

=> $v_1+v_2+....+v_n=1-\frac{1}{u_k+2014}$

Chỗ suy luận này hình như không ổn thì phải



#6
tranphuonganh97

tranphuonganh97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bạn xem hộ mình chỗ bôi đỏ, mình chưa rõ lắm

 

Chỗ suy luận này hình như không ổn thì phải

sửa lại rồi nhé  :B):


Đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi. Mà khó vì lòng người ngại núi e sông. !

 

 


#7
hungvuhuu

hungvuhuu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Ohh. Hay quá. Sao mà nghĩ ra nhỉ :D

#8
vuvanquya1nct

vuvanquya1nct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

b. 

Có: $u_{n+1}-1=\frac{u_n^2+2013-2014}{2014}=\frac{(u_n-1)(u_{n}+2014)}{2014}$

=> $\frac{u_n+2014}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}$

=> $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014}{u_n-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}$

Do đó : $v_1+v_2+...+v_n=\frac{2014}{u_1-1}-\frac{2014}{u_{n+1}-1}=2014-\frac{2014}{u_{n+1}-1}<2014$

=> đpcm 

chỗ màu đó thiếu un


:ukliam2:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh