Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển HSG tỉnh Khánh Hòa năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
Ngày 1:
 
Bài 1. (4 điểm ) Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.\tan4x-1=0\\$ 
 
Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
 
Bài 3. (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+5$ là số chính phương.
 
Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$. 
 
Bài 5. (4 điểm) Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-10-2013 - 22:26


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Câu nghiệm nguyên , trước hết một số chính phương là $x^{2}$ thì $x^{2}\equiv 0,1(mod3)$

Nhưng $3^{n}+5\equiv 2(mod3)$ nên không có $n$ thỏa mãn 

Câu hình : mọi người tự vẽ nhé  :icon6:

Giả sử $BH$ cắt $AC$ ở $D$ và $CH$ cắt $AB$ ở $E$ 

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $AB_{1}^{2}=AD.AC$ và $AC_{1}^{2}=AE.AB$

Ta lại chứng minh được hai tam giác $ACE$ và $ABD$ đồng dạng ( chung góc vuông và đỉnh $A$ )

Nên ta có đpcm .

Phần câu giới hạn thì mọi người có thể tự làm và cm nó hữu hạn , còn phần tìm giới hạn

Giả sử $lim u_{n}=a$ khi đó ta có $lim u_{n+1}=lim u_{n}^{2}-lim u_{n}$ hay $2lim u_{n}=lim u_{n}^{2}$ 

Hay $2a=a^{2}$ , bằng quy nạp ta chứng minh giới hạn của dãy không thể là $2$ , nên $a=0$ do đó $lim u_{n}=0$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-10-2013 - 16:39

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$. 

 
Bài 5. (4 điểm) Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.   

 

 

Bài 4: IMO 2012 (kể ra tỉnh này cho đề đểu thật :)))

Bài 5: Gọi $u_k$ là số dãy số $\left ( x_1,...,x_{k} \right )$ thoả yêu cầu đề bài

Xét $u_{k+1}$

$x_{k}\neq a$

Có 2 TH:

TH1: $x_{k-1}=a$

Số dãy thoả mãn đk trên là $2u_{k-1}$

TH2: $x_{k-1}\neq a$

Số dãy thoả mãn đk trên là $u_{k}$

Vậy số dãy thoả mãn yêu cầu đề bài là $u_{k+1}=u_{k}+2u_{k-1}$ với $k \geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 10-10-2013 - 15:56


#4
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

Bài 4: IMO 2012 (kể ra tỉnh này cho đề đểu thật :)))

IMO 2012 P.5 



#5
quocbaolqd11

quocbaolqd11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Bài 4: IMO 2012 (kể ra tỉnh này cho đề đểu thật :)))

Bài 5: Gọi $u_k$ là số dãy số $\left ( x_1,...,x_{k} \right )$ thoả yêu cầu đề bài

Xét $u_{k+1}$

$x_{k}\neq a$

Có 2 TH:

TH1: $x_{k-1}=a$

Số dãy thoả mãn đk trên là $2u_{k-1}$

TH2: $x_{k-1}\neq a$

Số dãy thoả mãn đk trên là $u_{k}$

Vậy số dãy thoả mãn yêu cầu đề bài là $u_{k+1}=u_{k}+2u_{k-1}$ với $k \geq 3$

hoặc cũng có thể là $a_n+a_{n+1}=2^{n-1}$ nếu làm theo hướng : đặt $a_n$ là số dãy thỏa $x_1=1$ và $x_n=a$; $b_n$ là số dãy thỏa $x_n=b$ và $x_1=1$, $c_n$ là số dãy thỏa $x_n=c$ và $x_1=1$, khi đó dễ có ctth: $a_{n+1}=b_n+c_n$ và $a_n+b_n+c_n=2^{n-1}$ ($n \ge 3$). Suy ra ctth đã nêu ở đầu với $a_3=2$

Cái này hơi dở vì dễ quên cách tính sai phân. (trong thi quên mất công thức sai phân thế là không tìm được cttq, mất 0,5 điểm uổng phí)

Câu nghiệm nguyên , trước hết một số chính phương là $x^{2}$ thì $x^{2}\equiv 0,1(mod3)$

Nhưng $3^{n}+5\equiv 2(mod3)$ nên không có $n$ thỏa mãn 

Câu hình : mọi người tự vẽ nhé  :icon6:

Giả sử $BH$ cắt $AC$ ở $D$ và $CH$ cắt $AB$ ở $E$ 

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $AB_{1}^{2}=AD.AC$ và $AC_{1}^{2}=AE.AB$

Ta lại chứng minh được hai tam giác $ACE$ và $ABD$ đồng dạng ( chung góc vuông và đỉnh $A$ )

Nên ta có đpcm .

Phần câu giới hạn thì mọi người có thể tự làm và cm nó hữu hạn , còn phần tìm giới hạn

Giả sử $lim u_{n}=a$ khi đó ta có $lim u_{n+1}=lim u_{n}^{2}-lim u_{n}$ hay $2lim u_{n}=lim u_{n}^{2}$ 

Hay $2a=a^{2}$ , bằng quy nạp ta chứng minh giới hạn của dãy không thể là $2$ , nên $a=0$ do đó $lim u_{n}=0$ 

cách chuyển qua giới hạn này không chính xác vì dãy $u_{2k+1}$ giảm và $u_{2k}$ tăng. Với lại bài này hay ở chứng minh được nó có giới hạn.



#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Câu số học dở hết chỗ nói.  :(


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết


 

Ngày 1:
 
Bài 1. (4 điểm ) Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.\tan4x-1=0\\$ 
 
Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
 
Bài 3. (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+5$ là số chính phương.
 
Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$. 
 
Bài 5. (4 điểm) Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.   

 

Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Giải

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{2};u_{2}=-\frac{1}{4};u_{3}=\frac{5}{16};...$

Đặt hàm số $f(x)=x^{2}-x\Rightarrow f'(x)=2x-1\leqslant 0\Leftrightarrow x\leqslant \frac{1}{2}$

Ta có $u_{1}>u_{3}\Rightarrow f(u_{1})f(u_{4})\Rightarrow u_{3}>u_{5}\Rightarrow ...$(u_{3})\rightarrow>

Từ đây suy ra:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}>u_{3}>u_{5}>...>u_{2k+1}\\ u_{2}<u_{4}<u_{6}<...<u_{2k}

\end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 16-10-2013 - 11:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh