Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 haku139

haku139

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn VT

Đã gửi 10-10-2013 - 15:17

1044269_666569850028208_777104552_n.jpg



#2 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 10-10-2013 - 16:43

Ngày thi: 10/10/2013
Thời gian: 180 phút 
 
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

Câu 2. (4 điểm)

 

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

Câu 3. (4 điểm)

 

          Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $($$O$$)$.  Hai tiếp tuyến của đường tròn $($$O$$)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $($$O$$)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $($$O$$)$ tại điểm thứ hai là $E,F$. 

1. Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$.

2. Chứng minh hai đường thẳng $EF$ và $AB$ song song với nhau.

 

Câu 4. (4 điểm)

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:

$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}$$.

 

Câu 5. (4 điểm)

 

          Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.

 

--- Hết ---


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 10-10-2013 - 18:48


#3 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 11-10-2013 - 20:42

Bài 4. + Cho $y=1$ được $f(x+f(x))+f(x-f(x))=2x$, suy ra $f$ là toàn ánh.

 Vì $f$ là toàn ánh, nên 
$$f(x+f(x))+f(x-f(x))=x+f(x)+x-f(x) \Longleftrightarrow f(u)+f(v)=u+v$$
Mặt khác, vì $f$ toàn ánh nên tồn tại $t \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $t=f(u)+f(v)$, hay 
$$f(t)=f(f(u)+f(v))=f(u)+f(v)=t$$
Tức là, $f(t)=t$, hay $f(x)=x$.
Thử lại dễ thấy thỏa mãn.
Kết luận: hàm số cần tìm là $f(x)=x \forall x \in \mathbb{R}$.
 
Không thấy ai làm nên mang ngay solution của một bác bên MS :lol:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 12-10-2013 - 19:28


#4 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 12-10-2013 - 18:14

Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?

 

Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?


ĐCG !

#5 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-10-2013 - 18:31

Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?

 

Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?

Hoá ra là bác :lol: em cũng đang phân vân sao chỗ đó lại suy ra được toàn ánh nhỉ?



#6 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 12-10-2013 - 18:39

Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?

 

Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?

Không thể suy ra toàn ánh như kiểu của bạn được đâu :)

Đây là bài giải của mình:

 

Câu 4. (4 điểm)

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:

$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}$$.

Cho $y=0$ có $f(f(x))+f(x)=2x\Rightarrow f$ đơn ánh.

Cho $y=1$ có $f(x+f(x))+f(x-f(x))=2x$

Cho $y=-1$ có $f(f(x)-x)+f(x+f(x))=2x$

$\Rightarrow f(x-f(x))=f(f(x)-x)\Rightarrow x-f(x)=f(x)-x\Rightarrow f(x)=x$

:icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 12-10-2013 - 19:01

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#7 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 12-10-2013 - 18:59

không thể suy ra toàn ánh như kiểu của bạn được đâu :)

 

Bạn giải thích kĩ hơn hộ mình một chút được không ? Sao lại không suy ra toàn ánh được nhỉ ? 

 

Với lại thế $u=x+f(x)$ thì có cần điều kiện gì không ?


ĐCG !

#8 nguyenminhquanduongvexaxoi

nguyenminhquanduongvexaxoi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học, yên tĩnh ,lắng đọng thử thách và khó khăn

Đã gửi 12-10-2013 - 19:13

bài này lớp 12 mới làm đc lớp 10  chắc chỉ làm đc con đầu vs câu 3 thôi



#9 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 12-10-2013 - 19:17

Bạn giải thích kĩ hơn hộ mình một chút được không ? Sao lại không suy ra toàn ánh được nhỉ ? 

 

Với lại thế $u=x+f(x)$ thì có cần điều kiện gì không ?

$f$ toàn ánh là khi $f:X \rightarrow Y$ mà ta chứng minh được $f(A)=Y,A \subset X$

Theo như mình biết thì là như vậy :)) nói chung là nếu bạn chỉ ra được tập giá trị của $f$ là $Y$ thì $f$ toàn ánh :D (trước đây mình cũng chứng minh toàn ánh sai kiểu nên phải xem lại hơn 200 bài hàm nè :P )

Còn $u=x+f(x)$ thì tùy vào mục đích sử dụng của thôi :) VD như $u$ cần toàn ánh chả hạn :icon10:


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#10 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1540 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 12-10-2013 - 19:24

Bài $2$ là như thế này:

 

Xét dãy số : $ y_n = x_n -1$ . Ta có: $ y_1 = 2002$ và với $n \ge 1$ thì

 

$ x_{n+1} -1 = y_{n+1} = \frac{ x^2_n -2x_n +2 +8}{ 2( x_n -1) }  =  \frac{ (x_n -1)^2 +9}{ 2( x_n -1) }$

 

$ = \frac{ x_n -1}{2 } + \frac{ 9}{ 2( x_n -1) } = y_n + \frac{ 9}{ 2 y_n } $

 

Suy ra: $ y_{n+1} = \frac{y_n}{2} + \frac{ 9}{ 2 y_n } $ với mọi $n \ge 1$

 

Tới đây dễ thấy là $y_n$ là dãy số dương ( bạn nào kĩ có thể chứng minh bằng quy nạp)

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 

với mọi $n \ge 1$, $ y_{n+1} = \frac{y_n}{2} + \frac{ 9}{ 2 y_n } \ge 2 \sqrt{  \frac{y_n}{2}  \cdot \frac{ 9}{ 2 y_n } } = 3$

 

Suy ra với mọi $n \ge 1$:

 

$ y_{n+1} = \frac{y_n}{2} + \frac{ 9}{ 2 y_n } \le \frac{y_n}{2} + \frac{ y^2_n}{ 2 y_n } = \frac{y_n}{2} + \frac{y_n}{2} = y_n$

 

Suy ra : $ 2002= y_1 \ge y_2 \ge ..... \ge y_n \ge ... \ge 3$

 

 Tức là dãy $ (y_n)$ đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi $3$ nên tồn tại giới hạn hữu hạn $ a = \lim y_n$ ($ a\ge 3$)

 

$ \implies \lim y_{n+1} = a = \lim \left( \frac{y_n}{2} + \frac{ 9}{ 2 y_n } \right) = \frac{a}{2} + \frac{9}{2a}$

 

$ \implies a =3  \implies \lim x_n = 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-10-2013 - 20:34

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#11 haku139

haku139

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn VT

Đã gửi 12-10-2013 - 19:25

 

Bài 4. + Cho $y=1$ được $f(x+f(x))+f(x-f(x))=2x$, suy ra $f$ là toàn ánh.

 Vì $f$ là toàn ánh, nên 
$$f(x+f(x))+f(x-f(x))=x+f(x)+x-f(x) \Longleftrightarrow f(u)+f(v)=u+v$$
Mặt khác, vì $f$ toàn ánh nên tồn tại $t \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $t=f(u)+f(v)$, hay 
$$f(t)=f(f(u)+f(v))=f(u)+f(v)=t$$
Tức là, $f(t)=t$, hay $f(x)=x$.
Thử lại dễ thấy thỏa mãn.
Kết luận: hàm số cần tìm là $f(x)=x \forall x \in \mathbb{R}$.
 

 

Không suy được toàn ánh như vậy.
Nếu giả sử tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$ thì thay $x=a$ ta được $f(ay)=2a$ với mọi $y\in \mathbb{R}$
Vì $f$ không thể là hàm hằng nên  $a=0\Rightarrow f(0)=0$
Xét $x\neq 0$. Thay $y=\frac{x}{f(x)}$ ta được $f(\frac{x^{2}}{f(x)}+f(x))=2x\forall x\neq 0$
Từ đó và $f(0)=0$ ta suy ra được $f$ toàn ánh.

 

 



#12 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 12-10-2013 - 19:31

 

Không suy được toàn ánh như vậy.
Nếu giả sử tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$ thì thay $x=a$ ta được $f(ay)=2a$ với mọi $y\in \mathbb{R}$
Vì $f$ không thể là hàm hằng nên  $a=0\Rightarrow f(0)=0$
Xét $x\neq 0$. Thay $y=\frac{x}{f(x)}$ ta được $f(\frac{x^{2}}{f(x)}+f(x))=2x\forall x\neq 0$
Từ đó và $f(0)=0$ ta suy ra được $f$ toàn ánh.

 

 

 

 

Mình nghĩ là nếu đưa về dạng $f(f(x))=ax$ thì suy luôn được song ánh rồi chứ nhỉ :D


ĐCG !

#13 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 12-10-2013 - 19:46



 

Ngày thi: 10/10/2013
Thời gian: 180 phút 
 
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=\sqrt[3]{3x-2}+(3x-2)$

:luoi:  :icon6:  Đến đây là Ok rùi 


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#14 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 25-10-2013 - 09:52

Chém câu hình đã :icon6: :

XXXXXX.png

Gọi A' là giao điểm của IF với (O). Dễ thấy ACFB là tứ giác điều hòa nên $A'B.CF=A'C.BF\Leftrightarrow \frac{BF}{CF}=\frac{A'B}{A'C}$.

Mặt khác $\frac{BF}{CF}=\frac{sin\widehat{BCF}}{sin\widehat{CBF}}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sin\widehat{CAM}}=\frac{\frac{1}{2}AB.AM.sin\widehat{BAM}}{\frac{1}{2}AC.AM.sin\widehat{CAM}}.\frac{AC}{AB}=\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}.\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AB}.$

Từ hai điều trên ta suy ra $AC.A'C=AB.A'B\Leftrightarrow \frac{1}{2}AC.A'C.sin\widehat{ABA'}=\frac{1}{2}AB.A'B.sin\widehat{ACA'}\Leftrightarrow S_{ACA'}=S_{ABA'}\Leftrightarrow AA'//BC$.

Từ đó chứng minh được qua phép đối xứng trục biến $A \mapsto A',B \mapsto C,D \mapsto F$.

Thế nên ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=\widehat{CBF}=\widehat{MAC}$.

Tiếp đến ta gọi I' là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A, D của (O). Khi đó vì I nằm trên đường đối cực của I' nên I' cũng nằm trên đường đối cực của I, tức là B, C, I' thẳng hàng. Khi đó chứng minh tương tự như cách chứng minh AA'//BC ở ý trên ta suy ra EC//AD. Từ đó dễ dàng suy ra EF//AB.

 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#15 KienThucToanHoc

KienThucToanHoc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Đã gửi 11-02-2016 - 00:23

 

Bài 4. + Cho $y=1$ được $f(x+f(x))+f(x-f(x))=2x$, suy ra $f$ là toàn ánh.

 Vì $f$ là toàn ánh, nên 
$$f(x+f(x))+f(x-f(x))=x+f(x)+x-f(x) \Longleftrightarrow f(u)+f(v)=u+v$$
Mặt khác, vì $f$ toàn ánh nên tồn tại $t \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $t=f(u)+f(v)$, hay 
$$f(t)=f(f(u)+f(v))=f(u)+f(v)=t$$
Tức là, $f(t)=t$, hay $f(x)=x$.
Thử lại dễ thấy thỏa mãn.
Kết luận: hàm số cần tìm là $f(x)=x \forall x \in \mathbb{R}$.
 
Không thấy ai làm nên mang ngay solution của một bác bên MS :lol:

 

Bạn ơi, chỗ $$f(f(u)+f(v))=f(u)+f(v)$$ là sao vậy bạn. Mong bạn nói rõ thêm. Hi



#16 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-02-2016 - 17:54

 

Ngày thi: 10/10/2013
Thời gian: 180 phút 
 
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

Câu 2. (4 điểm)

 

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

 

 

Câu 1:

Ta đưa về $(2x-1)^3+ (2x-1) = 3x-2 + \sqrt[3]{3x-2} $

                 $=> (2x-1)^3=3x-2 $ ...

Câu 2:

Ta chứng minh $x_n \geq 4 , \forall n \in N^*$ bằng quy nạp

Với $n=1$ đúng

Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1$

Ta có $x_{k+1} = \frac{x_k^2 +8}{2x_k-2} \geq 4 <=> (x_k-4)^2 \geq 0 $ Đúng

Do đó $x_n$ bị chặn dưới

Ta chứng minh $x_n$ giảm

Ta có 

$x_{n+1} - x_n= \frac{-x_n^2+x_n+8}{2x_n-2} $

Với $x_n \geq 4$ thì $-x_n^2+x_n+8 \leq 0 $

Do đó $x_n$ giảm

Ta có $x_n$ giảm, bị chặn dưới $=> \exists L=Lim x_n$

Chuyển qua giới hạn,  ta được $L=4$



#17 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-02-2016 - 17:59

 

Không suy được toàn ánh như vậy.
Nếu giả sử tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$ thì thay $x=a$ ta được $f(ay)=2a$ với mọi $y\in \mathbb{R}$
Vì $f$ không thể là hàm hằng nên  $a=0\Rightarrow f(0)=0$
Xét $x\neq 0$. Thay $y=\frac{x}{f(x)}$ ta được $f(\frac{x^{2}}{f(x)}+f(x))=2x\forall x\neq 0$
Từ đó và $f(0)=0$ ta suy ra được $f$ toàn ánh.

 

 

 

Nếu không tồn tại $a: f(a)=0 $ thì sao bạn

Bạn chỉ nói nếu tồn tại $a:f(a)=0 $ thì $a=0$ thôi

Nên chỗ đó là sai






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh