b)Do $2S=ah_a=bh_b=ch_c=(a+b+c)r$ suy ra $\frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
c)$r=1$ thì $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1$
Giải pt nghiệm nguyên $\boxed{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}$. Và ta chỉ có 3 bộ nghiệm $(6,3,2); (4,4,2); (3,3,3)$ cùng các hoán vị của chúng.
Không mất tính tổng quát, có thể g/s $x\ge y\ge z>0$. Suy ra $1<z\le 3$ tức là $z\in\{2,3\}$.
nếu $z=2$: pt thành $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ với $x\ge y\ge 2$. Suy ra $2<y\le 4$ tức là $y\in\{3,4\}$. Do đó nghiệm là $(6,3,2)$ hoặc $(4,4,2)$
nếu $z=3$: pt thành $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$ với $x\ge y\ge 3$. Suy ra $3\le y\le 3$ tức là $y=3$. Do đó nghiệm là $(3,3,3)$.
Vậy pt trên chỉ có 3 bộ nghiệm nguyên là $(6,3,2); (4,4,2); (3,3,3)$ cùng các hoán vị của chúng.
Do đó ta chỉ cần xét 3 Th sau đây :
* TH1: $(h_a,h_b,h_c)=(6,3,2)$ thì $2S=6a=3b=2c$ suy ra $(a,b,c)=(t,2t,3t)$ với $t=\frac{S}{3}$.
TH này LOẠI vì $a+b=c$ không thoả BĐT tam giác.
* TH2: $(h_a,h_b,h_c)=(4,4,2)$ thì $2S=4a=4b=2c$ suy ra $(a,b,c)=(t,t,2t)$ với $t=\frac{S}{2}$.
TH này LOẠI vì $a+b=c$ không thoả BĐT tam giác.
* TH3: $(h_a,h_b,h_c)=(3,3,3)$ thì $2S=3a=3b=3c$ suy ra $(a,b,c)=(t,t,t)$ với $t=\frac{2S}{3}$.
TH này thoả các BĐT tam giác, và ta có $\Delta ABC$ đều nên $t=\frac{2h}{\sqrt 3}=2\sqrt 3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 10-10-2013 - 18:42