Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC, S là diện tích tam giác, p là nửa chu vi tam giác. a) CMR: S=pr (Với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Bui Van Hung

Bui Van Hung

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Bài 1: Cho tam giác $ABC$, $S$ là diện tích tam giác, $p$ là nửa chu vi tam giác.

a) CMR: $S=pr$ (Với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

b) $ha,hb,hc$ là đường cao tam giác kẻ từ $A,B,C$. 

   CMR: $\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc}=\frac{1}{r}$

c) từ câu (b) hãy suy ra nếu $r=1$ còn $ha,hb,hc$ là các số tự nhiên thì $ha=hb=hc$



#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài 1: Cho tam giác $ABC$, $S$ là diện tích tam giác, $p$ là nửa chu vi tam giác.

a) CMR: $S=pr$ (Với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

b) $ha,hb,hc$ là đường cao tam giác kẻ từ $A,B,C$. 

   CMR: $\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc}=\frac{1}{r}$

c) từ câu (b) hãy suy ra nếu $r=1$ còn $ha,hb,hc$ là các số tự nhiên thì $ha=hb=hc$

Câu a, Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp

$S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.BC.r+\frac{1}{2}.AC.r=\frac{1}{2}(AB+BC+CA).r=pr$



#3
linhlun97

linhlun97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

a)

Gọi $D,E,F$ làn lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với $BC,CA,AB$

KHi đó$S=S_{BCI}+S_{CAI}+S_{BAI}=\frac{1}{2}(BC.ID+CA.IE+AB.IF)=p.r$

b) $\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}(a+b+c)=p=\frac{S}{r}$

=>dpcm

c) Không mất tính tổng quát, giả sử $h_a\leq h_b\leq h_c$ 

$\Rightarrow \frac{1}{h_a}\geq \frac{1}{h_b}\geq \frac{1}{h_c}$

$\Rightarrow \frac{1}{h_a}\geq \frac{1}{3}$

$\Rightarrow h_a\leq 3$

Mặt khác $\frac{1}{h_a}< \frac{1}{r}=1\Rightarrow h_a>1\Rightarrow h_a\geq 2$

vậy $h_a=2$ hoặc $h_a=3$

Nếu $h_a=2$ 

$\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$(**)

Ta có$a\geq b\geq c$ do $h_a\leq h_b\leq h_c$(*)

Để $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác thì ta chỉ cần $b+c> a$ (1) do khi $a\geq b\geq c$ (theo(*)) ta sẽ có ngay $a+c>b, a+b>c$

$(1)\Leftrightarrow \frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}> \frac{S}{h_a}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}> \frac{1}{h_a}=\frac{1}{2}$ mâu thuẫn với (**)

Vậy loại trường hợp này

Suy ra $h_a=3$$\Rightarrow h_b\geq h_c\geq 3$(i)

$\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\frac{1}{h_b}\geq \frac{1}{h_c}$

Suy ra $\frac{1}{h_b}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow h_b\leq 3$

mà $h_b\geq 3$ theo (i)

Vậy $h_b=3\Rightarrow h_c=3$

Suy ra dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhlun97: 10-10-2013 - 18:24


#4
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

 Bài 1: Cho tam giác $ABC$, $S$ là diện tích tam giác, $p$ là nửa chu vi tam giác.

a) CMR: $S=pr$ (Với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

b) $h_a,h_b,h_c$ là đường cao tam giác kẻ từ $A,B,C$. 

   CMR: $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}$

c) từ câu (b) hãy suy ra nếu $r=1$ còn $ha,hb,hc$ là các số tự nhiên thì $h_a=h_b=h_c$

 

Gọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh và I là tâm đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC$.

 

a)Ta có: $S=S_{IBC}+S_{ICA}+S_{IAB}=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)r=pr$.

 

b)Do $2S=ah_a=bh_b=ch_c=(a+b+c)r$ suy ra $\frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.

 

c)$r=1$ thì $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1$

Giải pt nghiệm nguyên $\boxed{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}$. Và ta chỉ có 3 bộ nghiệm $(6,3,2); (4,4,2); (3,3,3)$ cùng các hoán vị của chúng.

 

Do đó ta chỉ cần xét 3 Th sau đây :

* TH1: $(h_a,h_b,h_c)=(6,3,2)$ thì $2S=6a=3b=2c$ suy ra $(a,b,c)=(t,2t,3t)$ với $t=\frac{S}{3}$.

TH này LOẠI vì $a+b=c$ không thoả BĐT tam giác.

* TH2: $(h_a,h_b,h_c)=(4,4,2)$ thì $2S=4a=4b=2c$ suy ra $(a,b,c)=(t,t,2t)$ với $t=\frac{S}{2}$.

TH này LOẠI vì $a+b=c$ không thoả BĐT tam giác.

* TH3: $(h_a,h_b,h_c)=(3,3,3)$ thì $2S=3a=3b=3c$ suy ra $(a,b,c)=(t,t,t)$ với $t=\frac{2S}{3}$.

TH này thoả các BĐT tam giác, và ta có $\Delta ABC$ đều nên $t=\frac{2h}{\sqrt 3}=2\sqrt 3$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 10-10-2013 - 18:42


#5
huykietbs

huykietbs

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 335 Bài viết

a. Em không biết là với ý này mình có phải vẽ hình không nhỉ?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh