8 replies to this topic

[Mrnhan]

Tính các định thức của:

$a)\:\:A=\begin{vmatrix} 1&\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha\\\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha\\\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha\\\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha&\cos6\alpha\end{vmatrix}$ (đã làm được!  )

 

 

$b)\:\: B_n=\begin{vmatrix} a_1-b_1&a_1-b_2&\cdots &a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\cdots &a_2-b_n\\\vdots &\vdots&\ddots &\vdots \\ a_n-b_1&a_n-b_2&\cdots &a_n-b_n\end{vmatrix}$

Edited by Mr nhan, 11-10-2013 - 10:33.

[vo van duc]

$b)\:\: B_n=\begin{vmatrix} a_1-b_1&a_1-b_2&\cdots &a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\cdots &a_2-b_n\\\vdots &\vdots&\ddots &\vdots \\ a_n-b_1&a_n-b_2&\cdots &a_n-b_n\end{vmatrix}$

Bài này thì ta có thể giải bằng một phương pháp khá thú vị như sau:

Ta phân tích $B_n=B_{1n}.B_{2n}$

 

Trong đó

 

$$B_{1n}=\begin{bmatrix} a_1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ a_2 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ a_3 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & -1 & 0& \cdots & 0 \end{bmatrix}$$

 

$$B_{2n}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$

 

Như vậy với $n\ge 2$ thì $$\det B_n=\det (B_{1n}.B_{2n})=\det B_{1n}.\det B_{2n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{nếu } n>2\\ (a_2-a_1)(b_2-a_1) & \text{nếu } n=2 \end{matrix}\right.$$ và với $n=1$ thì $\det B_1=a_1-b_1$

 

Kết luận: 

$ \det B_n=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{nếu } n>2\\ (a_2-a_1)(b_2-a_1) & \text{nếu } n=2\\ a_1-b_1 & \text{nếu } n=1 \end{matrix}\right. $

 

[Mrnhan]

Em còn bài này nhờ anh làm giúp ạ

Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$

[vo van duc]

Em còn bài này nhờ anh làm giúp ạ

Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$

 

Bài này có thêm điều kiện ràng buộc thêm cho $a,b,c$ phải không Nhân.

 

Ví dụ với $a=2,b=3,c=4$ thì ta có:

 

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 12\\ 1 & 3 & 8\\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix}=2\neq \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}=-10$$

[Didier]

Em chưa hiểu sao $B_{1}=a_{1}-b_{1}$

[Mrnhan]

Bài này có thêm điều kiện ràng buộc thêm cho $a,b,c$ phải không Nhân.

 

Ví dụ với $a=2,b=3,c=4$ thì ta có:

 

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 12\\ 1 & 3 & 8\\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix}=2\neq \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}=-10$$

Em cop nguyên đề đó anh:

ĐỊnh thức 1 - Định thức 2 = Kết quả

Còn đây là wolfram tính

 

@vo van duc: Lần thứ hai trong năm nay anh bấm máy tính sai để rồi đưa ra phản ví dụ sai. hihi

@mrnhan: 2 lần trong năm, xác suất là rất bé! Em 1 bài tính sai vài lần, và có hàng chục bài như thế khi học, làm là sai, mà sai là nản...làm phiền các anh!

Edited by Mr nhan, 11-10-2013 - 22:23.

[Mrnhan]

Em chưa hiểu sao $B_{1}=a_{1}-b_{1}$

Bạn nhìn lại đề bài xem, nếu $n=1$ thì còn lại $|a_1-b_1|$ thôi!

Còn $n>2$ mà nghĩ ra cái tích trên cũng tài.! (đó mấu chốt của vấn đề.)

 

 

@vo van duc: Cái này không phải anh nghĩ ra đâu. Đó là một kỹ thuật tính định thức được viết khá kỹ trong bài giảng  bai2.pdf   113.93KB   214 downloads và   bai3.pdf   118.6KB   174 downloads của thầy Mỵ Vinh Quang - ĐH Sư phạm Tp.HCM

@Mrnhan: Nếu anh có tài liệu nào nữa thì share cho em và mọi người cùng biết! Thanks anh

Edited by Mr nhan, 11-10-2013 - 21:45.

[vo van duc]

 

Em còn bài này nhờ anh làm giúp ạ 

Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$

 

 

Ta có: $$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & ab\\ 1 & c & ac \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & ab\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & bc \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & ac\\ 1 & b & bc\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}=0$$ vì các cột 3 và cột 2 là tỷ lệ với nhau.

 

Suy ra

 

$$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2+ab+ac\\ 1 & b & b^2+ab+bc\\ 1 & c & c^2+ac+bc \end{vmatrix}=0$$

 

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc+(ab+bc+ca)\\ 1 & b & b^2-ca+(ab+bc+ca)\\ 1 & c & c^2-ab+(ab+bc+ca) \end{vmatrix}=0$$

 

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc\\ 1 & b & b^2-ca\\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & a & (ab+bc+ca)\\ 1 & b & (ab+bc+ca)\\ 1 & c & (ab+bc+ca) \end{vmatrix}=0$$

 

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc\\ 1 & b & b^2-ca\\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}=0$$

 

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ca\\ 1 & c & ab \end{vmatrix}=0$$

 

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ca\\ 1 & c & ab \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$$

Edited by vo van duc, 11-10-2013 - 17:27.

[Mrnhan]

Dựa vào ý tưởng của anh nên em làm lại như sau:

$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a(a+b+c)+bc\\1&b&b(a+b+c)+ca\\1&c&c(a+b+c)+ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&a&ab+bc+ca\\1&b&ab+bc+ca\\1&c&ab+bc+ca\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$

 

$\fbox{đpcm}$