Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic: Thảo luận về các bài tập trong chuyên đề số học của VMF.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 11-10-2013 - 22:24

Chào các bạn, mình là một thành viên của Chuyên Hà Tĩnh. Như chúng ta đã biết thì diễn đàn chúng ta đã có cuốn sách đầu tay là Chuyên Đề Số Học VMF.

Các kiến thức và ví dụ trong đó thì không nói làm gì, tuy nhiên mục BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ thì có nhiều vấn đề mà chúng ta cần trao đổi. Vì vậy mình xin lập Topic này để cùng các bạn chia sẻ các cách làm và ý tưởng của các bài tập này.

Đầu tiên mình xin đưa các bài tập của Phần Ước và bội để chúng ta cùng trao đổi. Mình đã chọn lọc ra, vì một số bài khá dễ nên mình không đưa lên nữa

 

Bài 1:. a) Cho $A=5a+3b$; $B=13a+8b$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:

                              $(A;B)=(a,b)$

          b) Tổng quát $A=ma+nb$; $N=pa+qb$ thỏa mãn $|mq-np|=1$ với $a,b,m,n,q,p$ là các số

               nguyên dương. Chứng minh $(A;B)=(a,b)$.

Bài 2:  

Tìm $(6k+5;8k+3)$ trong đó $k$ là số tự nhiên.

Bài 3:

Từ các chữ số $1;2;3;4;5;6$ thành lập tất cả các số có $6$ chữ số khác nhau ( mỗi số chỉ viết một lần). Tìm UCLN của tất cả các số được tạo thành.

Bài 4:

Cho $A=2n+1$; $B=\frac{n(n+1)}{2}$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm $(A;B)$

Bài 5:

Chứng minh rằng trong 16 số tự nhiên liên tiếp thì luôn tồn tại một số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với các số còn lại.

Bài 6:

Cho $1 \ge m \ge n$ với $m,n$ là số tự nhiên. 

  a. Chứng minh rằng: $(2^{2^n}-1;2^{2^n}+1)$

  b, Tìm $(2^m-1; 2^n+1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 11-10-2013 - 22:45


#2 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 11-10-2013 - 22:34

Bài 1:. a) Cho $A=5b+3b$; $B=13a+8b$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:

                              $(A;B)=(a,b)$

 

Chỗ này gõ sai phải không ??



#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 11-10-2013 - 22:35

Bài 7: 

Cho các số tự nhiên m,n thỏa mãn: $(m,n)=1$. Tìm $(m^2+n^2;m+n)$

Bài 8:

 Cho $A=2^n+3$; $B=2^{n+1}+3^{n+1}$; $C=2^{n+2}+3^{n+2}$ với n là số nguyên dương.

Tìm $A;B)$ và $(B;C)$.

Bài9:

 Cho sáu số nguyên dương $a,b,a',b',d,d'$ sao cho $(a;b)=d$; $(a',b')=d'$. Chứng minh rằng:

        $(aa';bb';ab';a'b)=dd'$

Bài 10:

  Chứng minh rằng dãy số $B_n=\frac{1}{6}.n(n+1)(n+2)$ ( với n là số nguyên dương) có vô hạn số những số nguyên tố cùng nhau



#4 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 11-10-2013 - 22:44

Bài 11:

 Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ ( $n \in N$ ) chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 12:

 Chứng minh dãy số Mersen $M_n=2^n-1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 13:

 Chứng minh dãy số Fermat  $M_n=2^n+1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 14:

 Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n>1$ và $2^n-2$ chia hết cho $n$. Tìm $(2^{2^n};2^n-1)$

Bài 15:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhên $n$ thì phân số $\dfrac{21n+1}{14n+3}$ là phân số tối giản.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 11-10-2013 - 22:44


#5 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 11-10-2013 - 23:04

Bài 16: 

Cho ba số tự nhiên $a;b;c$  đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: $(ab+bc+ca;abc)=1$

Bài 17:

 Cho $a,b$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số $n \in N$ sao cho $(a+n;b+n)=1$.

Bài 18:

 Giải sử $m,n \in N$ ( $m \ge n$) thỏa mãn $(199k-1;m)=(199k-1;n). Chứng minh rằng:

  Tồn tại $t$ là số tự nhiên sao cho $m=199k^t.n$

Bài 19:

 Chứng minh rằng nếu $a;m \in N ; a>1$ thì $(\frac{a^m-1}{a^n-1};a-1)=(m;a-1)$.

Bài 20:

 Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

   a, $\dfrac{1}{n^{1996}+1995n+2}$.

   b, $\dfrac{2}{n^{1996}+1995n+3}$

   c,  $\dfrac{1994}{n^{1996}+1995n+1995}$

   d,  $\dfrac{1995}{n^{1996}+1995n+1996}$

Bài 21:

 Cho $n$ số tự nhiên khác 0 là $a_1;a_2;...;a_{n}$ có tổng bằng S và UCLN bằng $d$. Chứng minh rằng UCLN của $S-a_1$ ;$S-a_2$; ... ; $S-a_{n}$ bằng tích của $d$ với một ước nào đó của $n-1$

 

 

p.s: Đề bài xin tạm thời dừng ở đây để phục vụ cho quá trình thảo luận.



#6 The gunners

The gunners

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Đã gửi 11-10-2013 - 23:11

Bài 2:

Bài này khá dễ. khi chỉ cần gọi ước chung lớn nhất là $d$ thì qua một số phép  biến đổi đơn giản ta hoàn toàn có được UCLN cần tim là 1



#7 T1K23

T1K23

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 11-10-2013 - 23:14

Câu 3:

Hiển nhiên các số tạo thành đều chia hết cho 3 và không chia hết cho 9.

Trong các số tạo thành thì tồn tại 2 số là 123456 và 123465, UCLN của 2 sô này là 3 dẫn đến ước chung lớn nhất cần tìm là 3



#8 NhokHT

NhokHT

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 12-10-2013 - 19:38

Bài 11:

 Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ ( $n \in N$ ) chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 12:

 Chứng minh dãy số Mersen $M_n=2^n-1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 13:

 Chứng minh dãy số Fermat  $M_n=2^n+1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau

 

 

- B12, B13: Sử dụng t/c sau $(n,2n+1)=1$ và $(n;2n-1)=1$ ta sẽ có $(M_n;$M_(n+1)$)=1$   nên có ngay ĐPCM.

- Đối với B11 thì trước tiên có nhận xét $a=2^n-3$ không chia hết cho 3 nên $(a;2a+3)=1$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhokHT: 12-10-2013 - 19:48


#9 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-10-2013 - 19:42

Bài 16: 

Cho ba số tự nhiên $a;b;c$  đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: $(ab+bc+ca;abc)=1$

Bài 17:

 Cho $a,b$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số $n \in N$ sao cho $(a+n;b+n)=1$.

Bài 18:

 Giải sử $m,n \in N$ ( $m \ge n$) thỏa mãn $(199k-1;m)=(199k-1;n). Chứng minh rằng:

  Tồn tại $t$ là số tự nhiên sao cho $m=199k^t.n$

Bài 19:

 Chứng minh rằng nếu $a;m \in N ; a>1$ thì $(\frac{a^m-1}{a^n-1};a-1)=(m;a-1)$.

Bài 20:

 Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

   a, $\dfrac{1}{n^{1996}+1995n+2}$.

   b, $\dfrac{2}{n^{1996}+1995n+3}$

   c,  $\dfrac{1994}{n^{1996}+1995n+1995}$

   d,  $\dfrac{1995}{n^{1996}+1995n+1996}$

Bài 21:

 Cho $n$ số tự nhiên khác 0 là $a_1;a_2;...;a_{n}$ có tổng bằng S và UCLN bằng $d$. Chứng minh rằng UCLN của $S-a_1$ ;$S-a_2$; ... ; $S-a_{n}$ bằng tích của $d$ với một ước nào đó của $n-1$

 

 

p.s: Đề bài xin tạm thời dừng ở đây để phục vụ cho quá trình thảo luận.

Bài 16 nhá :

giả sử abc và ab+bc+ca không nguyên tố cùng nhau
=> tồn tại d là số nguyên tố và d là ước chung của abc và ab+bc+ca
abc chia hết cho d mà a,b,c nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên có 3 TH:
TH1: a chia hết cho d => ab,ac chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> bc chia hết cho d => b hoặc c chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
TH2: b chia hết cho d => ba,bc chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> ac chia hết cho d => a hoặc c chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
TH3: c chia hết cho d => ca,cb chia hết cho d
mà ab+bc+ca chia hết cho d
=> ab chia hết cho d => a hoặc b chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau)
vậy: giả thiết đưa ra là sai
kết luận: abc và ab+bc+ca nguyên tố cùng nhau

P/s : Topic có vẻ khá vắng!!



#10 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-10-2013 - 19:58

Bài 19:

 Chứng minh rằng nếu $a;m \in N ; a>1$ thì $(\frac{a^m-1}{a^n-1};a-1)=(m;a-1)$.

Xem tại đây. Không chắc là lời giải có đúng không.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#11 dkhanhht98

dkhanhht98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 12-10-2013 - 20:14

Bài 1b): (sửa lại B=pa+qb)

      Để chứng minh (A,B)=(a,b) ta sẽ đi chứng minh ƯC(A,B)=ƯC(a,b):

          Thật vậy:

                   Gọi d$\in$ƯC(a,b) ta dễ có d$\in$ƯC(A, B).

                   Gọi d$\in$ƯC(A, B) ta có

                          d | pA-mB $\Rightarrow$  d | b,

                          d | qA-nB $\Rightarrow$  d | a.

                    Như vậy d$\in$ƯC(a,b),đpcm.



#12 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 12-10-2013 - 20:49

Bài 6:

Cho $1 \le m \le n$ với $m,n$ là số tự nhiên. 

  a. Chứng minh rằng $(2^{2^n}-1;2^{2^n}+1)=1$.

  b, Tìm $(2^m-1; 2^n+1)$.

 

Việc làm rất ý nghĩa. T ủng hộ một bài:

a) Đặt $(2^{2^n}-1;2^{2^n}+1)=d$ thì $(2^{2^n}-1;(2^{2^n}+1-(2^{2^n}-1)))=d$ hay $(2^{2^n}-1;2=d$. Suy ra $d|2$ nên $d=1$ hoặc $d=2$.

Lại do $2^{2^n}+1$ lẻ nên chỉ có thể $d=1$.

b) Đặt $(m,n)=k$ ta có $m=m'k, n=n'k$ với $(m',n')=1$.

Khi đó $2^m-1=2^{m'k}-1=(2^k-1)P$. Tương tự $2^n-1=2^{n'k}-1=(2^k-1)Q$.

Chú ý $(m',n')=1$ nên $(P,Q)=1$ tức $(2^m-1; 2^n+1)=2^k-1=2^{(m,n)-1}$.



#13 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-10-2013 - 21:05

Bài 11:

 Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ ( $n \in N$ ) chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 12:

 Chứng minh dãy số Mersen $M_n=2^n-1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 13:

 Chứng minh dãy số Fermat  $M_n=2^n+1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 14:

 Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n>1$ và $2^n-2$ chia hết cho $n$. Tìm $(2^{2^n};2^n-1)$

Bài 15:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhên $n$ thì phân số $\dfrac{21n+1}{14n+3}$ là phân số tối giản.

Chém thêm bài dễ 15 này. 

Gọi d là UCLN(21n+1; 14n+3)

ta có :

$3(14n+3)-2(21n+1)=1$$3(14n+3)-2(21n+1)=1$ chia hết cho d

$\Rightarrow d=1$

Nên phân số tối giản.

P/s : bài này lớp 6 à.??

@tranquocluat_ht : học trò Thế của thầy tạo ra topic này đấy!!

Thầy vào ủng hộ cho nó với!!



#14 cuongt1k23

cuongt1k23

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T1K23 , THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Math and Football

Đã gửi 12-10-2013 - 21:59

Bài 11:

 Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ ( $n \in N$ ) chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 12:

 Chứng minh dãy số Mersen $M_n=2^n-1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 13:

 Chứng minh dãy số Fermat  $M_n=2^n+1$ ( với $n$ là số tự nhiên) là dãy số chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

Bài 14:

 Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n>1$ và $2^n-2$ chia hết cho $n$. Tìm $(2^{2^n};2^n-1)$

Bài 15:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhên $n$ thì phân số $\dfrac{21n+1}{14n+3}$ là phân số tối giản.

dãy phéc ma là $2^{2^{n}}+1$ chứ



#15 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-10-2013 - 09:12

Bài 17:

 Cho $a,b$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số $n \in N$ sao cho $(a+n;b+n)=1$.

 

 Tồn tại vô số $m>a$ để $(m;a-b)=1$ hay  $(m-a+a;a-b)=1$.

  Đặt $n=m-a$ khi đó có vô số $n$  mà $(n+a;a-b)=1$ 

 $\Leftrightarrow$ $(n+a,n+a-a+b)=1$

$\Leftrightarrow$ $(n+a,n+b)=1$



#16 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 13-10-2013 - 18:48

Bài 3:

Dễ thấy trong các số tạo thành tất cả đều chia hết cho 3.

Mặt khác tồn tại 2 số trong các số được tạo thành là 123456 và 123465.

Hai số này có UCLN là 3 nên từ đây ta có UCLN cần tìm là 3



#17 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 13-10-2013 - 19:43


Bài 4:

Cho $A=2n+1$; $B=\frac{n(n+1)}{2}$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm $(A;B)$

 

Thấy topic đang còn thiếu sự chú ý, mình là người tạo topic cũng góp vui 1 bài:

Bài 4:

Ta có: $(2n+1;n)=1$ và $(2n+1;n+1)=(n,n+1)=1$ nên ta có: $(2n+1;n(n+1))=1$ từ đây ta có Đpcm



#18 The gunners

The gunners

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Đã gửi 20-10-2013 - 20:38

Dường như topic đang khá vắng. Các bạn có gắng tham gia thảm luận với ạ.



#19 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 20-10-2013 - 20:44

Dường như topic đang khá vắng. Các bạn có gắng tham gia thảm luận với ạ.

Có ai vào đâu mà vắng hay là không vắng . Mấy bài này có trong cuốn Chuyên đề số học rồi. Khó quá!!



#20 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 01-11-2013 - 20:48

Bài 21: Chứng minh rằng phương trình: $x^2+y^2=z^n$ với mọi số tự nhiên $n$ luôn có nghiệm nguyên dương






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh