Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(x)P(3x^{2})=P(3x^{3}+x^{2})$
Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(x)P(3x^{2})=P(3x^{3}+x^{2})$
#1
Đã gửi 11-10-2013 - 23:48
#2
Đã gửi 13-10-2013 - 20:40
Lời giải:
\[
P \in R\left[ x \right]: P\left( x \right)P\left( {3x^2 } \right) = P\left( {3x^3 + x^2 } \right),\left( 1 \right)
\]
Nếu $P$ là đa thức hằng thì dễ thấy $P\equiv 0$ hoặc $P \equiv 1$
Xét khi $deg P \ge 1$. Gọi $a_0$ là hệ số tự do của $P(x)$. So sánh hệ số của $x^0$ trong (1), ta có\[
a_0^2 = a_0 \Rightarrow a_0 = 0 \vee a_0 = 1
\]
Trường hợp 1: $a_0 = 1 \Rightarrow P\left( x \right) = x^k Q\left( x \right) + 1\left( {Q\left( 0 \right) \ne 0;k \ge 1;\deg Q = n - k} \right)$
Khi đó \[
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {x^k Q\left( x \right) + 1} \right]\left[ {\left( {3x^2 } \right)^k Q\left( {3x^2 } \right) + 1} \right] = \left( {3x^3 + x^2 } \right)^k Q\left( {3x^3 + x^2 } \right) + 1 \\
\Leftrightarrow 3^k x^{3k} Q\left( x \right)Q\left( {3x^2 } \right) + x^k Q\left( x \right) + 3^k x^{2k} Q\left( {3x^2 } \right) = x^{2k} \left( {3x^2 + 1} \right)Q\left( {3x^3 + x^2 } \right) \\
\Leftrightarrow 3^k x^{2k} Q\left( x \right)Q\left( {3x^2 } \right) + Q\left( x \right) + 3^k x^k Q\left( {3x^2 } \right) = x^k \left( {3x^2 + 1} \right)Q\left( {3x^3 + x^2 } \right) \\
\end{array}
\]
Thay $x=0$, ta có $Q\left( 0 \right) = 0$: mâu thuẫn với cách đặt $Q(x)$.
Trường hợp 2: $a_0 = 0 \Rightarrow P\left( x \right) = x^k Q\left( x \right)\left( {Q\left( 0 \right) \ne 0;k \ge 1;\deg Q = n - k} \right)$
Khi đó \[
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x^k Q\left( x \right)\left( {3x^2 } \right)^k Q\left( {3x^2 } \right) = \left( {3x^3 + x^2 } \right)^k Q\left( {3x^3 + x^2 } \right) \\
\Leftrightarrow 3^k x^{k} Q\left( x \right)Q\left( {3x^2 } \right) = \left( {3x^2 + 1} \right)^k Q\left( {3x^3 + x^2 } \right) \\
\end{array}
\]
Thay $x=0$, ta có $Q\left( 0 \right) = 0$: mâu thuẫn với cách đặt $Q(x)$.
Kết luận: $P \equiv 0$ hoặc $P \equiv 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-10-2013 - 20:40
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 08-11-2013 - 20:08
bước này em nghĩ nếu chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{k}$ rồi sau đó lại xét x=0 ????
Lời giải:$3^{k}.x^{3k}.Q(x).Q(3x^{2})+x^{k}.Q(x)+3^{k}.x^{2k}.Q(3x^{2})=x^{2k}(3x^{2}+1).Q(3x^{3}+x^{2})$
$\Leftrightarrow 3^{k}.x^{2k}Q(x)Q(3x^{2})+Q(x)+3^{k}.x^{k}.Q(3x^{2})=x^{k}(3x^{2}+1)Q\left ( 3x^{3}+x^{2} \right )$
bước này tại sao chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{k}$ rồi sau đó lại xét x=0 ????
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhkhon: 08-11-2013 - 20:16
#4
Đã gửi 08-11-2013 - 20:24
bước này tại sao chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{k}$ rồi sau đó lại xét x=0 ????
Nói 1 cách tổng quát thế này: nếu $P,Q$ là 2 đa thức mà $x^k P(x)=x^k Q(x)\,\forall x$ thì suy ra $P(x)=Q(x)\,\forall x \ne 0$. Mà vì $P,Q$ là 2 đa thức và chúng bằng nhau tại vô hạn điểm thì sẽ trùng nhau, tức $P(x)=Q(x)\,\forall x$
- anhminhkhon yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 18-12-2013 - 18:23
Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(x)P(3x^{2})=P(3x^{3}+x^{2})$
các bạn xem giúp mình bài tương tự sau
Tìm $P(x)$ thỏa mãn $P(x)\cdot P(2x^{2})=P(x^{3}+x)$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh