Chủ đề này có 3 trả lời

[coban]

Tính giới hạn $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x\right)$

[Didier]

Tính giới hạn $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x\right)$

$\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^{x}}-x=\frac{ex^{x+1}-x(x+1)^{x}}{(x+1)^{x}}$
$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^{x}}-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{\frac{1}{x^{2}}.x(1+\frac{1}{x})^{x-1}}{-\frac{1}{x^{2}}.(1+\frac{1}{x})^{x}-\frac{1}{x^{2}}(\frac{1}{x}+1)^{x-1}})=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x}{-2-\frac{1}{x}})=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^{2}}{-2x-1})=-\infty$
Bài trên chỉ dùng lopitan thôi ,mình biến đổi đạo hàm đoạn trên các bạn xem lại xem có sai không nhé.Tại mình thấy cái kết quả là $-\infty$ nên hơi nghi

[Mrnhan]

Tính giới hạn $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x\right)$

Mình thử làm cái:

Biến đổi như bình thường ta được: $A=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x \right )=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\left ( e-(1+\frac{1}{x})^x \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}$

Ta khai triển $(1+\frac{1}{x})^x,\: x\to +\infty$

Xét $t_{0}\to 0$ với $f(t)=(1+t)^{\frac{1}{t}}$

Theo $Maclaurin$ ta có $f(t)=f(t_0)+\frac{f'(t_0)}{1!}(t-t_0)+....=(1+t_0)^{\frac{1}{t_0}}+\frac{(1+t_0)^{\frac{1}{t_0}}(\frac{1}{1+t_0}-\ln (1+t_0)^{\frac{1}{t_0}})}{t_0}t+O(t^2)=e-\frac{et}{2}+O(t^2)$

nên 

$A=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\left ( e-(1+\frac{1}{x})^x \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x\left ( e-(e-\frac{e}{2x}+O(\frac{1}{x^2})) \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{e}{2}-O(\frac{1}{x})}{(1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{2}$

 

$\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^{x}}-x=\frac{ex^{x+1}-x(x+1)^{x}}{(x+1)^{x}}$
$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^{x}}-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{\frac{1}{x^{2}}.x(1+\frac{1}{x})^{x-1}}{-\frac{1}{x^{2}}.(1+\frac{1}{x})^{x}-\frac{1}{x^{2}}(\frac{1}{x}+1)^{x-1}})=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x}{-2-\frac{1}{x}})=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^{2}}{-2x-1})=-\infty$
Bài trên chỉ dùng lopitan thôi ,mình biến đổi đạo hàm đoạn trên các bạn xem lại xem có sai không nhé.Tại mình thấy cái kết quả là $-\infty$ nên hơi nghi

Chỗ đạo hàm chưa ổn lắm và chưa xét điều kiện để dùng $L'Hospital$, nghĩ thế thôi!

[HauBKHN]

 

Mình thử làm cái:

Biến đổi như bình thường ta được: $A=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x \right )=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\left ( e-(1+\frac{1}{x})^x \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}$

Ta khai triển $(1+\frac{1}{x})^x,\: x\to +\infty$

Xét $t_{0}\to 0$ với $f(t)=(1+t)^{\frac{1}{t}}$

Theo $Maclaurin$ ta có $f(t)=f(t_0)+\frac{f'(t_0)}{1!}(t-t_0)+....=(1+t_0)^{\frac{1}{t_0}}+\frac{(1+t_0)^{\frac{1}{t_0}}(\frac{1}{1+t_0}-\ln (1+t_0)^{\frac{1}{t_0}})}{t_0}t+O(t^2)=e-\frac{et}{2}+O(t^2)$

nên 

$A=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\left ( e-(1+\frac{1}{x})^x \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x\left ( e-(e-\frac{e}{2x}+O(\frac{1}{x^2})) \right )}{(1+\frac{1}{x})^x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{e}{2}-O(\frac{1}{x})}{(1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{2}$

 

Chỗ đạo hàm chưa ổn lắm và chưa xét điều kiện để dùng $L'Hospital$, nghĩ thế thôi!

 

Có ai giải thích giúp mình chỗ đang từ khai triển ra được chỗ $e-\frac{et}{2}+O(t^{2})$

Là sao vậy ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HauBKHN: 19-10-2013 - 11:20