Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangvtvpvn]

_{Cho a,b,c > 0 thoả mãn :} $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11(ab+bc+ca)$

CMR        $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvtvpvn: 12-10-2013 - 20:24

[nguyentrungphuc26041999]

_{Cho a,b,c > 0 thoả mãn :} $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11(ab+bc+ca)$

CMR        $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$

ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2}$

và $ab+bc+ca\leq a\left ( b+c \right )+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}$

$\Rightarrow 7\left ( a^{2}+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2} \right )\leq 11\left ( a\left ( b+c \right ) +\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}\right )$

$\Rightarrow \frac{b+c}{14}\leq a\leq \frac{3}{2}\left ( b+c \right )$

tương tự ta có  $\frac{c+a}{14}\leq b\leq \frac{3}{2}\left ( c+a \right )$

$\frac{a+b}{14}\leq c\leq \frac{3}{2}\left ( a+b \right )$

bây giờ chứng minh vế phải

$\frac{3}{2}\left ( b+c \right )-a\geq 0$

$\frac{3}{2}\left ( c+a \right )-b\geq 0$

$\frac{3}{2}\left ( b+a \right )-c\geq 0$

theo BCS dạng phân thức 

$\frac{9}{2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{\frac{3}{2}\left ( b+c \right )-a}{b+c}$

$\geq \frac{\left ( \sum \left ( \frac{3}{2}\left ( b+c \right )-a \right ) \right )^{2}}{\sum \left ( \frac{3}{2}\left ( b+c \right )-a \right )\left ( b+c \right )}$

rút gọn ta được

$\frac{4 \left (\sum a \right )^{2}}{3\sum a^{2}+\sum ab}= \frac{5}{2}+\frac{11\sum ab-7\sum a^{2}}{2\left ( 3a^{2}+\sum ab \right )}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\leq 2$

dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{3}=b=c$ và các hoán vị

cái kia đánh giá tương tự

[thanhdotk14]

_{Cho a,b,c > 0 thoả mãn :} $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11(ab+bc+ca)(1)$

CMR        $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$

Bài giải:

Từ $(1)$ ta suy ra được:$$7(a+b+c)^2=25(ab+bc+ca)$$

Chuẩn hóa:$a+b+c=1\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{7}{25}$

Lại có:$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

$$=\frac{\sum_{a,b,c}a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}$$

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$$\frac{51}{28}\le \frac{\frac{11}{25}+3abc}{\frac{7}{25}-abc}\le 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{49}{125.27}\le abc\le \frac{3}{125}$$

Mặt khác, ta thấy:$$\frac{7}{25}=a(b+c)+bc\le a(1-a)+\frac{(1-a)^2}{4}$$

$$\Rightarrow a\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$$

Tương tự, ta có:$a,b,c\in \left[\frac{1}{15};\frac{3}{5}\right]$

Do đó ta luôn có:$$\left(a-\frac{1}{15}\right) \left(b-\frac{1}{15}\right) \left(c-\frac{1}{15}\right)\ge 0$$

$$\Rightarrow abc\ge \frac{49}{125.27}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{15},b=c=\frac{7}{15}$ và các hoán vị

Tương tự ta cũng có:$$\left(a-\frac{3}{5}\right)\left(b-\frac{3}{5}\right)\left(c-\frac{3}{5}\right)\le 0$$

$$\Leftrightarrow abc\le \frac{3}{125}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{3}{5},b=c=\frac{1}{5}$ và các hoán vị

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 12-10-2013 - 22:58