Chủ đề này có 1 trả lời

[Forgive Yourself]

Tìm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x-2}$ đối xứng với nhau qua $d:y=x+1$

 

p/s: Chỉ sử dụng kiến thức lớp 10 thôi nha

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta có: $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 2} = x + 3 + \dfrac{7}{x - 2}$

Đặt $A\left (a; a + 3 + \dfrac{7}{a - 2} \right )$ và $ B\left (b; b + 3 + \dfrac{7}{b - 2} \right )$

Khi đó, để A, B đối xứng với nhau qua d thì: $\left\{\begin{matrix}AB \perp d\\d_{(A; (d))} = d_{(B; (d))}\end{matrix}\right.$

Hệ số góc của AB là:
$k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{b - a + \dfrac{7}{b - 2} - \dfrac{7}{a - 2}}{b - a} = 1 - \dfrac{7}{(a - 2)(b - 2)}$

Khi đó, để $AB \perp (d)$ thì: $k_(d).k_{AB} = -1 \Rightarrow k_{AB} = -1 \Rightarrow \dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}$

Ta có:

$d_{A; (d)} = \dfrac{\left | a + 1 - (a + 3 + \dfrac{7}{a - 2})\right |}{\sqrt{2}} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Tương tự: $d_{B; (d)} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Vậy:
$ d_{A; (d)} = d_{B; (d)} \Leftrightarrow \left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right | =\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right | $

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}2 + \dfrac{7}{a - 2} = 2 + \dfrac{7}{b - 2}\\2 + \dfrac{7}{a - 2} = - 2 - \dfrac{7}{b - 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Vì A, B phân biệt nên $a \neq b$. Vậy, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Hệ vô nghiệm.