Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuanewton]

giả sử x là số thực thoả mãn điều kiện

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$

CMR

$a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Vì x = 0 không thỏa mãn giả thiết nên với $x \neq 0$, đưa về dạng:

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} + a\left (x + \dfrac{1}{x}\right ) + b = 0$

Đặt $t = x + \dfrac{1}{x} \, (|t| \geq 2)$, ta được: $t^2 + at + b - 2 = 0$

Vì tồn tại x nên tồn tại ít nhất một giá trị t ($|t| \geq 2$) thỏa mãn phương trình trên.

Khi đó, theo Viét, ta có: $\left\{\begin{matrix}t_1 + t_2 = -a\\t_1.t_2 = b - 2\end{matrix}\right.$

Nếu $|a| \geq 2$ thì dễ thấy: $a^2 + b^2 \geq a^2 \geq 4 > \dfrac{4}{5}$

Vậy, ta xét: $|a| < 2 \Leftrightarrow -2 < a < 2$

- Giả sử, ta có: $t_1 \geq 2 \Rightarrow t_2 \leq - a - 2 \leq 0 \Rightarrow t_1t_2 \leq -2(a + 2)$
$\Rightarrow b - 2 \leq -2(a + 2) \Leftrightarrow b + 2a \leq -2$

Khi đó, theo BĐT C-S, ta có: $b^2 + a^2 \geq \dfrac{(b + 2a)^2}{5} \geq \dfrac{4}{5}$

 

- Tương tự, nếu: $t_1 \leq – 2 \Rightarrow t_2 \geq -a + 2 \geq 0 \Rightarrow t_1t_2 \leq -2(2 - a)$
$\Rightarrow b - 2 \leq -2(2 - a) \Leftrightarrow b - 2a \leq -2$

Khi đó, theo BĐT C-S, ta có: $b^2 + a^2 \geq \dfrac{(b - 2a)^2}{5} \geq \dfrac{4}{5}$

 

Kết luận: $a^2 + b^2 \geq \dfrac{4}{5}$