Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$

hà anh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 12-10-2013 - 23:30

giả sử x là số thực thoả mãn điều kiện

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$

CMR

$a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$



#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 13-10-2013 - 00:18

Giải

Vì x = 0 không thỏa mãn giả thiết nên với $x \neq 0$, đưa về dạng:

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} + a\left (x + \dfrac{1}{x}\right ) + b = 0$

Đặt $t = x + \dfrac{1}{x} \, (|t| \geq 2)$, ta được: $t^2 + at + b - 2 = 0$

Vì tồn tại x nên tồn tại ít nhất một giá trị t ($|t| \geq 2$) thỏa mãn phương trình trên.

Khi đó, theo Viét, ta có: $\left\{\begin{matrix}t_1 + t_2 = -a\\t_1.t_2 = b - 2\end{matrix}\right.$

Nếu $|a| \geq 2$ thì dễ thấy: $a^2 + b^2 \geq a^2 \geq 4 > \dfrac{4}{5}$

Vậy, ta xét: $|a| < 2 \Leftrightarrow -2 < a < 2$

- Giả sử, ta có: $t_1 \geq 2 \Rightarrow t_2 \leq - a - 2 \leq 0 \Rightarrow t_1t_2 \leq -2(a + 2)$
$\Rightarrow b - 2 \leq -2(a + 2) \Leftrightarrow b + 2a \leq -2$

Khi đó, theo BĐT C-S, ta có: $b^2 + a^2 \geq \dfrac{(b + 2a)^2}{5} \geq \dfrac{4}{5}$

 

- Tương tự, nếu: $t_1 \leq – 2 \Rightarrow t_2 \geq -a + 2 \geq 0 \Rightarrow t_1t_2 \leq -2(2 - a)$
$\Rightarrow b - 2 \leq -2(2 - a) \Leftrightarrow b - 2a \leq -2$

Khi đó, theo BĐT C-S, ta có: $b^2 + a^2 \geq \dfrac{(b - 2a)^2}{5} \geq \dfrac{4}{5}$

 

Kết luận: $a^2 + b^2 \geq \dfrac{4}{5}$

 

 


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hà anh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh