Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left ( \frac{a+b}2 \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}2{},\forall n\epsilon \mathbb{N}*$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thống Nhất A
  • Sở thích:Học toán, nghe nhạc, chơi game,...

Đã gửi 14-10-2013 - 09:24

CMR: nếu $a+b\geq 0$ thì:

$\left ( \frac{a+b}2 \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}2{},\forall n\epsilon \mathbb{N}*$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#2 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 14-10-2013 - 13:41

Còn cách dễ hiểu hơn như sau

Ta có $a^{m+n}+b^{m+n}\geq\frac{1}{2} (a^{n}+b^{n})(a^{m}+b^{m})$(cái này dùng phép biến đổi tương đương cho đơn giản nhé)

Ta có $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})\geq \frac{1}{8}(a+b)(a+b)(a^{n-2}+b^{n-2})\geq ...\geq \frac{1}{2^{n}}(a+b)^{n}$

Đặt $A=a^{n};B=b^{n}$ ta được $\frac{A+B}{2}\geq \frac{1}{2^{n}}(\sqrt[n]{A}+\sqrt[n]{B})^{n}$

Khai căn bậc n cả 2 vế ta được đpcm



#3 phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thống Nhất A
  • Sở thích:Học toán, nghe nhạc, chơi game,...

Đã gửi 15-10-2013 - 07:11

Còn cách dễ hiểu hơn như sau

Ta có $a^{m+n}+b^{m+n}\geq\frac{1}{2} (a^{n}+b^{n})(a^{m}+b^{m})$(cái này dùng phép biến đổi tương đương cho đơn giản nhé)

Ta có $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})\geq \frac{1}{8}(a+b)(a+b)(a^{n-2}+b^{n-2})\geq ...\geq \frac{1}{2^{n}}(a+b)^{n}$

Đặt $A=a^{n};B=b^{n}$ ta được $\frac{A+B}{2}\geq \frac{1}{2^{n}}(\sqrt[n]{A}+\sqrt[n]{B})^{n}$

Khai căn bậc n cả 2 vế ta được đpcm

Còn cách khác là dùng phương pháp quy nạp toán học đó bạn!! logic hơn 


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#4 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 22-10-2013 - 19:51

Còn 1 cách khác nữa nè!

Dùng BĐT Bernoulli ta có

$\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1+\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{x-y}{x+y}$

$\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1-\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{x-y}{x+y}$

Cộng từng vế 2 BĐT trên  được

$2^{n}\frac{x^{n}+y^{n}}{\left ( x+y \right )^{n}}\geq 2$

Từ đó có được BĐT     $\frac{x^{n}+y^{n}}{2}\geq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{n}$

P/s: lời giải khá hay và độc đáo! :lol:


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh