Chủ đề này có 3 trả lời

[unvhoang1998]

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB\neq AC$). gọi $H$ là trực tâm của tam giác, $M$ là trung điểm $BC$. Các điểm $Đ,E$ lần lược thuộc các cạnh $AB,AC$ sao cho $D,H,E$ thẳng hàng. CMR $HM$ vuông góc với dây cung chung của $(ABC)$ và $(ADE)$

[perfectstrong]

Đề bài sai

[Lin Kon]

bài toán đúng khi $AE=AD$ chắc đề thiếu thôi....mong mọi người chứng minh giúp ạ 

[perfectstrong]

Giả sử thêm điều kiện $AD=AE$.

Lời giải tắt:

Gọi $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn $(ABC), (ADE)$. Vẽ $AF, AL$ là các đường kính của $(I), (O)$.

Ta sẽ chứng minh $H, M, L$ thẳng hàng. (*)

Thật vậy, gọi $C', B'$ là chân đường cao $CH, BH$ tương ứng. Dễ thấy:

\[FD\parallel CH\parallel LB, FE\parallel BH\parallel LC\]

Vẽ $FD$ cắt $HB$ tại $D'$, $FE$ cắt $HC$ tại $E'$. Ta có:

\[\left. \begin{array}{l}
\frac{{C'D}}{{C'B}} = \frac{{\cot C'DH}}{{\cot C'BH}};\frac{{B'E}}{{B'C}} = \frac{{\cot B'EH}}{{\cot B'CH}}\\
\angle C'DH = \angle B'EH;\angle C'BH = \angle B'CH
\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{C'D}}{{C'B}} = \frac{{B'E}}{{B'C}} \Leftrightarrow \frac{{HD'}}{{HB}} = \frac{{HE'}}{{HC}}\]

Xét phép vị tự sau:

\[V_H^{\frac{{HD'}}{{HB}}}:D' \mapsto B,E' \mapsto C \Rightarrow F = FD' \cap FE' \mapsto LB \cap LC = L\]

Cho nên $H,F,L$ thẳng hàng. Cũng có nghĩa $H, F,M, L$ thẳng hàng.

 

Mặt khác, $OI \parallel FL \Rightarrow HM \parallel OI$. Chú ý $OI$ vuông góc với trục đẳng phương của $(O), (I)$ nên ta có đpcm.

===

Có thể khai thác thêm tính chất: $HI$ luôn đi qua trung điểm cung $BAC$.