Chủ đề này có 1 trả lời

[pdtienArsFC]

Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số nguyên tố. Chứng minh n là số nguyên tố.

[T M]

Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số nguyên tố. Chứng minh n là số nguyên tố.

 

Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng.

 

+ Đầu tiên, ta chứng minh rằng, $n$ không thể $=1$. Điều này khá hiển nhiên, bạn tự làm.

 

+ Giờ ta sẽ chứng minh, với $n \neq 1$, $2^n-1$ là $1$ số nguyên tố, thì $n$ không phải hợp số. Giả sử trái lại, tức $n$ là hợp số, thì ta sẽ có $n=pq$, trong đó $p,q>1$ và nguyên. Khi đó,$$2^n-1=2^{pq}-1=\left(2^p \right)^q-1^q=(2^p-1)[2^{p(q-1)}...+1]$$ Hiển nhiên $2^n-1$ là hợp số. Vô lí, vậy giả sử sai. Ta có đpcm $\blacksquare$.