Ngày thứ 1.
Câu 1. Cho dãy số $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ cho bởi
$$x_{1}=1 ; x_{n+1}=20+\frac{13}{x_{n}}$$
Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ hội tụ và tìm $\lim x_n.$
Câu 2. Cho đường tròn $($O$)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn và không trùng với $A,B$. Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$ . Đường tròn $($J$)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AB,CD$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $($O$)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao của các đường phân giác trong góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$ . Chứng minh rằng $F$ nằm trên 1 đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=\sqrt{xyz}$ . Chứng minh rằng :
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}< \frac{1}{3.4^{2013}}$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n\geq 2$ thí sinh, được xếp xung quanh một bàn tròn . Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau , mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản . Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh được nhận chỉ $1$ đề và hai thí sinh bất kỳ ngồi cạnh nhau thì nhận được $2$ loại đề khác nhau. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh? Biết rằng số cách phát đề hợp lệ không vượt quá $2013$
Ngày thứ 2.
Câu 1. Cho $a,b\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $1\le a\le b$ và đặt $M=\lfloor\frac{a+b}{2}\rfloor.$ Giả sử $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số cho bởi $f(n)=n+a$ nếu $n<M$ và $f(n)=n-b$ nếu $n\ge M,$ $\forall\, n\in\mathbb{Z}.$ Đặt $f^1(n)=f(n),f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$ $\forall\, i>1.$ Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho $f^k(0)=0.$
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $O_1,O_2$ nằm về hai phía của đường thằng $AB.$ Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D\ne A$ ($A$ nằm giữa $C$ và $D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2).$ Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ nguyên tố và $p\equiv3\pmod{4}.$ Hãy tìm số dư của phép chia $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((p-1)^2+1)$ cho $p.$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1,1]$ sao cho tổng 4 số trong hình vuông con $2\times 2$ bất kỳ thì bằng $0.$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $2013\times 2013.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 15-10-2013 - 22:31