Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
khonggiohan

khonggiohan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

   cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$


             

                 Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện


#2
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

   cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$

 

Chứng minh:

 

Hãy chỉ ra rằng,

 

$$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2} \left ( a+b \right)$$

 

Bằng cách biến đổi tương đuơng theo từng cặp.


ĐCG !

#3
neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Chi tiết hơn thì

Ta có $a^{2}+b^{2}+ab=\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$......................................



#4
neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác

      $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}}\geq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}+c_{i})^{2}}$

Ta có $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \sqrt{(a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}}\geq \sqrt{(\sum a+\frac{b}{2})^{2}+(\sum \frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}}=.................$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh