cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR
$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR
$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR
$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$
Chứng minh:
Hãy chỉ ra rằng,
$$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2} \left ( a+b \right)$$
Bằng cách biến đổi tương đuơng theo từng cặp.
Chi tiết hơn thì
Ta có $a^{2}+b^{2}+ab=\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)^{2}$
$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$......................................
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác
$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}}\geq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}+c_{i})^{2}}$
Ta có $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \sqrt{(a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}}\geq \sqrt{(\sum a+\frac{b}{2})^{2}+(\sum \frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}}=.................$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh