Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QG TP.HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Ngày 1.

Thời gian: 180 phút

Bài 1. Giải hệ phương trình: 

$$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$

Bài 2. Cho dãy $(x_n)$ thỏa

$$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$

Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$

Bài 3. Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ cân nội tiếp $(O)$, $M$ di động trên $(O)$. $M$ không thuộc $AO$. Đường thẳng vuông góc $AM$ tại $M$ cắt $BC$ tại $N$. Đường trung trực của $MN$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E,F$. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác $AEF.$

Bài 5. Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}$

Ngày 2.

Thời gian : 180 phút

Bài 1. Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa

$$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Bài 2. Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $max_{1\leq i\leq j\leq 5}\left | a_{i}-a_{j} \right |\leq 1$. Chứng minh: 

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$ 

Bài 3. Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB.$ Đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt $AM$ lần lượt tại $D$ và $E$. $BD$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $APFN$ nội tiếp.

Bài 5. Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A?$

---------Hết--------

Mời các bạn cùng thảo luận tại đây !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 16-10-2013 - 13:54


#2
vinh1712

vinh1712

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

mới bị đề này hành 2 buổi sáng



#3
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

Ngày 1.

Thời gian: 180 phút

Bài 1. Giải hệ phương trình: 

$$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$

Bài 2. Cho dãy $(x_n)$ thỏa

$$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$

Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$

Bài 3. Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.

Bài 5. Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}$

Câu 5 đề bị lỗi

Câu 1: Với $y=0$ thì phương trình vô nghiệm,chia hai vế hai phương trình cho y ta có hệ mới:

$\left\{\begin{matrix}
 \frac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\
 (x+y)^2=2\frac{x^2+1}{y}+7
\end{matrix}\right.$

Câu 2: $2014x_{n+1}-2014=(x_n-1)(x_n+2014)$

$\Rightarrow \frac{1}{2014(x_{n+1}-1)}=\frac{2014}{2015}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_n+2014} \right)=-\frac{1}{2015} \left(\frac{2014}{x_n+2014}+\frac{1}{x_n-1}-\frac{2015}{(x_n-1)} \right)=\frac{1}{x_n-1}-\frac{x_n}{2014(x_{n+1}-1)}$

$\Rightarrow \frac{x_n}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{2014}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1} \right)$

Khi đó $\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)=\frac{2014}{a-1}$

Câu 3: Giả sử $x_0$ là nghiệm chung thỏa hệ $\left\{\begin{matrix}
 x_0^2+px_0+1=0 \\
 x_0^2+qx_0+2=0
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (p-q)x_0=1$

Nếu $p=q$ hoặc $x_0=0$ vô lí

$\Rightarrow x_0=\frac{1}{p-q}$

Thay vào hai phương trình được $2p^2-3pq+q^2+1=0$

Dùng miền giá trị suy ra $min A=4$ tại $q=3$

$\Rightarrow ...$


Link

 


#4
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB.$ Đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt $AM$ lần lượt tại $D$ và $E$. $BD$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $APFN$ nội tiếp.

http://diendantoanho...729-usamo-2008/



#5
tubmt97

tubmt97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Bài 4 ngày 1 ko cho cân đỉnh nào hả bạn?
 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh