2 replies to this topic

[b2stfs]

cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR:

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq \frac{1000}{27}$

[pdtienArsFC]

cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR:

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq \frac{1000}{27}$

Bài này để em.

Đầu tiên, ta có: $a+b+c=1\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

Ta có: $a+\frac{1}{b}$

      $=a+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}$

       $\geq 10\sqrt[10]{\frac{a}{(9b)^{9}}}$

Chứng minh tương tự vớii 2 vế còn lại. Nhân 3 BĐT lại với nhau, ta đc ĐPCM 

[KietLW9]

Ta có: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq abc+\frac{1}{abc}+10$

Ta cần chứng minh: $abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{730}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{(27abc-1)(abc-27)}{27abc}$ (Đúng do  $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Edited by KietLW9, 26-03-2021 - 19:27.