Đến nội dung

Hình ảnh

cho x,y,z>0,x+y+z=1 cmr $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{zy}+\sqrt{xz}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zimmi

Zimmi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

1.cho x,y,z>0,x+y+z=1 cmr $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{zy}+\sqrt{xz}$

2.tìm Min $\frac{\sqrt{x-2008}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2009}}{x}$



#2
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Chém câu 1 đã :

Khai thác (gt): x+y+z=1. Ta có: 

  $\sqrt{x+yz}= \sqrt{x(x+y+z)+yz}\geq \sqrt{x^{2}+2x\sqrt{yz}+yz}=x+\sqrt{yz}$

CMTT, ta được :  $\sqrt{y+zx}\geq y+\sqrt{zx}$

                            $\sqrt{z+xy}\geq z+\sqrt{xy}$

Cộng từng vế 3 bdt trên, ta có đpcm  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 17-10-2013 - 15:44

tàn lụi


#3
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Tiếp tục câu 2, em ơi: Bài này đề phải là tìm max (bài gốc là đề thi tuyển sinh vào chuyên armsterdam 2003)  ;

 Đkxd: $x\geq 2009$

 Đặt $\sqrt{x-2008}=y\rightarrow x=y^{2}+2008 $, $\sqrt{x-2009}=z\rightarrow x=z^{2}+2009$

   $\rightarrow$ A= $\frac{y}{y^{2}+2010}+\frac{z}{z^{2}+2009}= \frac{1}{y+\frac{2010}{y}}+\frac{1}{z+\frac{2009}{z}}\leq \frac{1}{2\sqrt{2010}}+\frac{1}{2\sqrt{2009}}$

 Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}=2010 & \\z^{2} =2009 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4018$

 

 Vậy Max A =$\frac{1}{2\sqrt{2010}}+\frac{1}{2\sqrt{2009}}$ 

 

Nhung em có thể đặt ra câu hỏi : tại sao người ta lại nghĩ ra được bài toán này :Là tu BT sau: 

Tìm max A=$\frac{\sqrt{y-2010}}{y}+\frac{\sqrt{z-2009}}{z}$ (Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số dương)

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=4020 & \\z=4018 & \end{matrix}\right.$

Nguòi ta đã thực hiện 1 phép thế để chuyển về BT cực trị 1 biến, trong bài này là thay y=x+2, z=x ( x nhận cùng giá trị là 4018 khi A đạt max) :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 17-10-2013 - 16:25

tàn lụi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh