Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
khonggiohan

khonggiohan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

 Với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 .CMR

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$


             

                 Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện


#2
trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết

 Với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 .CMR

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{2a+b} =\frac{1}{a+a+b} \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

$\Rightarrow$ $\frac{a^2b}{2a+b} \leq \frac{1}{9}.(2ab+a^2)$

Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại ta có:

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{1}{9}.(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)=\frac{1}{9}.(a+b+c)^2=1$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 17-10-2013 - 21:58

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh