Chủ đề này có 7 trả lời

[elroja]

Cho $x \geq y \geq z$ và $x^2+y^2+z^2=3$

Tìm min của $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

[Ispectorgadget]

Cho $x \geq y \geq z$ và $x^2+y^2+z^2=3$

Tìm min của $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

$$(x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=\frac{x^2+y^2+z^2+5}{2}+xy+2(x+y)=\frac{(x+y+2)^2}{2}+\frac{z^2+1}{2}$$

$P\ge \frac{(z^2+1)(z+2)}{2}=f(z)$

 

Do $z=\min \{x,y,z\}$ nên $z^2 \le 1 \to z \in [-1;1]$

 

Khảo sát hàm số $f(z)=\frac{(z^2+1)(z+2)}{2}$ với $z\in [-1;1]$ là xong .

========================================================

P/S : Để tránh Spam thôi, tốt nhất chỉ để 1 đề bài với 1,2 lời giải, 1 số giải thích sau khi cả 2 bên đã thống nhất thì xóa đi cho đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 16-12-2013 - 16:07

[TranLeQuyen]

Cho $x \geq y \geq z$ và $x^2+y^2+z^2=3$

Tìm min của $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

Giải quyết bằng $p,q,r$ cũng khá nhẹ nhàng!

+ Từ điều kiện có $p^2\le9\to-3\le p\le 3$ và
$$
\begin{cases}
p^2-2q=3\\P=r+2q+4p+8\\r\ge\frac19(4pq-p^3)=\frac19[2p(p^2-3)-p^3]\quad(\mbox{Schur})
\end{cases}
$$

Khi đó
$$
P\ge f(p):=\frac19[2p(p^2-3)-p^3]+(p^2-3)+4p+8\\=\frac19p^3+p^2+\frac{10}3p+8\ge f(-3)=1.
$$
 

[25 minutes]

Do $z=\min \{x,y,z\}$ nên $z^2 \le 1 \to z \in [-1;1]$

 

Khi đó

$$
P\ge f(p):=\frac19[2p(p^2-3)-p^3]+(p^2-3)+4p+8\\=\frac19p^3+p^2+\frac{10}3p+8\ge f(-3)=1.
$$

Mọi người xem lại cách chứng minh nhé

GTNN đạt được là $\frac{25}{27}\Leftrightarrow (x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-5}{3})$

[25 minutes]

Cho $x \geq y \geq z$ và $x^2+y^2+z^2=3$

Tìm min của $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

Do $2+x,2+y,2+z >0$ nên $P$ đạt GTNN $\Leftrightarrow x,y,z<0$

Đổi biến $(x,y,z)=(-a,-b,-c)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\a^2+b^2+c^2=3 \\P=(2-a)(2-b)(2-c) \end{matrix}\right.$

Do vai tò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \leqslant b \leqslant c$

                             $\Rightarrow c \in \left [ 1;\sqrt{3} \right )$

Ta có bất đẳng thức sau $(2-a)(2-b)\geqslant (2-\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2$

                     $\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{2}{a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}}-\frac{1}{2})\geqslant 0$

                     $\Leftrightarrow a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}\leqslant 4$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a+b+\sqrt{2(a^2+b^2)}\leqslant 2\sqrt{2(a^2+b^2)}\leqslant 4$, do $c \geqslant 1$

Khi đó $P\geqslant (2-\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2(2-c)=(2-\sqrt{\frac{3-c^2}{2}})^2(2-c)=f(c)$

Xét $2f(c)=c^3-2c^2-11c+22-8\sqrt{6-2c^2}+4c\sqrt{6-2c^2}$

$\Rightarrow 2f'(c)=3c^2-4x-11+\frac{16c}{\sqrt{6-2c^2}}+4\sqrt{6-2c^2}-\frac{8c^2}{\sqrt{6-2c^2}}=0$

$\Leftrightarrow (3c^2-4c-11)\sqrt{6-2c^2}+16c+4(6-2c^2)-16c^2=0$

$\Leftrightarrow c=1,c=\frac{5}{3}$

Lập bảng biến thiên ta thấy $2f(c)\geqslant 2f(\frac{5}{3})=\frac{50}{27}\Rightarrow f(c)\geqslant \frac{25}{27}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b=\frac{1}{3}\\ c=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{-1}{3}\\z=\frac{-5}{3} \end{matrix}\right.$

 

===========

Tên này sao đi ẩn bài người ta hết thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-10-2013 - 14:38

[tung2609442]

$$(x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=\frac{x^2+y^2+z^2+5}{2}+xy+2(x+y)=\frac{(x+y+2)^2}{2}+\frac{z^2+1}{2}$$

$P\ge \frac{(z^2+1)(z+2)}{2}=f(z)$

 

Do $z=\min \{x,y,z\}$ nên $z^2 \le 1 \to z \in [-1;1]$

 

Khảo sát hàm số $f(z)=\frac{(z^2+1)(z+2)}{2}$ với $z\in [-1;1]$ là xong .

========================================================

P/S : Để tránh Spam thôi, tốt nhất chỉ để 1 đề bài với 1,2 lời giải, 1 số giải thích sau khi cả 2 bên đã thống nhất thì xóa đi cho đẹp

sao mình tìm x,y z hk thõa đc để bài vậy

[25 minutes]

$$(x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=\frac{x^2+y^2+z^2+5}{2}+xy+2(x+y)=\frac{(x+y+2)^2}{2}+\frac{z^2+1}{2}$$

$P\ge \frac{(z^2+1)(z+2)}{2}=f(z)$

Tớ nghĩ cho này cậu đã mặc định cho $x=y=-1$ rồi nên khảo sát bên dưới không còn đúng nữa

Chỗ $f'(z)=0\Leftrightarrow z=-1,z=\frac{-1}{3}$ và $f(z)\geqslant f(\frac{-1}{3})$

sao mình tìm x,y z hk thõa đc để bài vậy

[tung2609442]

Tớ nghĩ cho này cậu đã mặc định cho $x=y=-1$ rồi nên khảo sát bên dưới không còn đúng nữa

Chỗ $f'(z)=0\Leftrightarrow z=-1,z=\frac{-1}{3}$ và $f(z)\geqslant f(\frac{-1}{3})$

lúc mình tính dấu = xảy ra thì tìm được 

$x=\frac{-1}{3}$

$y=\frac{-5}{3}$

$z=\frac{-1}{3}$

thì đâu thỏa $x\geq y\geq z$ đâu bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tung2609442: 01-06-2014 - 14:00