Chủ đề này có 2 trả lời

[upinmie]

B1. Cho a, b, c là 3 số # 0 thỏa mãn 2005a + 2006b = 2007c. CMR trong 3 biểu thức
a^2+2bc,3b^4+4ca,5c^6-6ab có ít nhất 1 biểu thức có giá trị dương.
B2. Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn |x-y| + |y-z| + |z-t| + |t-x| = 2013.
B3. Tìm các số tự nhiên m & n thỏa mãn đẳng thức sau :
A=1/4 (m-n)(m+n)[1+(-1)^(m+n) ]= 2013
B4. Biết rằng x và y là các số tự nhiên có 2005 chữ số. Số x chỉ viết bởi các chữ số 9 và số y chỉ viết bởi các chữ số 8, Hãy so sánh tổng các chữ số của tích xy và tổng các chữ số của x^2
B5. Giả sử k1, k2, k3 là các số nguyên dương, k1+k2+k3 là số lẻ, các số x1, x2, x3 thỏa mãn(|x1-x2|)/k1=(|x2-x3|)/k2=(|x3-x1|)/k… CMR : x1=x2=x3.
B6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xyz=9+x+y+z.
B7. Tìm các số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn x+y và 1/x+1/y đồng thời là 2 số nguyên dương

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi upinmie: 18-10-2013 - 18:39

[Rias Gremory]

B7. Tìm các số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn x+y và 1/x+1/y đồng thời là 2 số nguyên dương

Ta có :

$x+y> 0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}> 0$ $\Rightarrow xy>0$ và $x+y>0 \Rightarrow x>0;y>0$

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ với a,b,c,d là các số nguyên dương thõa mãn $(a;b)=1;(c;d)=1$

$x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}=m$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{ad+bc}{ac}=n$       (Với m,n nguyên dương)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ad+bc=mbd \\ ad+bc=nac \end{matrix}\right.$

Từ $ad+bc=nac\Rightarrow d+\frac{bc}{a}=nc\Rightarrow bc\vdots a$

Mà $(a;b)=1\Rightarrow c\vdots a$        (1)

$ad+bc=nac\Rightarrow \frac{ad}{c}+b=na\Rightarrow ad\vdots c$

Mà $(c;d)=1\Rightarrow a\vdots c$        (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow a=c$

Tương tự với đẳng thức $ad+bc=mbd\Rightarrow b=d$

$\Rightarrow x=y$

$m=x+y=2x$

$n=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x}$

$\Rightarrow mn=2x.\frac{2}{x}=4$

Vì m,n nguyên dương nên xảy ra các TH sau

m=n=2

m=4,n=1

m=1,n=4

Bạn tự tìm x,y nha       

[Rias Gremory]

B6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xyz=9+x+y+z.

Lời giải của nguyenta98

Không mất tính tổng quát giả sử $x\leq y\leq z$     (1)

TH1: $z< 3\Rightarrow z=2;1\Rightarrow xyz< 9 (loại )

TH2: $z\geq 3\Rightarrow VP=9+x+y+z\leq 3z+3z=6z\Leftrightarrow xyz\leq 6z\Leftrightarrow xy\leq 6$

Do đó $xy=5;4;3;2;1\rightarrow (x;y)=(1;5),(1;4),(2;2),(1;3),(1;2),(1;1)$ ( chú ý điều kiện (1))

Dễ thấy tính được x,y nghiễm nhiên ra z

VD : $(x;y)=(1;5)\rightarrow 5z=9+z+6$ suy ra loại 

Các Th còn lại tương tự và ra nghiệm $(x;y;z)=(1;2;12)$

 

 

 

x,nghiễm nhiên ra z