Chủ đề này có 2 trả lời

[vanhieu9779]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$ biết x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1

 

MOD: chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 19-10-2013 - 01:30

[25 minutes]

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =$(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$ biết x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1

 

MOD: chú ý tiêu đề

Đặt $t=xy+yz+2xz$, dễ dàng thấy được $P=t^2-\frac{8}{t+3}$

Ta luôn có $(x+z)^2+y^2+(x+y+z)^2\geqslant 0\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+2xz)\geqslant 0$

          $\Rightarrow 2+2t\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant -1$

Xét $P=f(t)=t^2-\frac{8}{t+3},t \geqslant -1$

$\Rightarrow f'(t)=2t+\frac{8}{(t+3)^2}=0\Leftrightarrow t=-4,t=-1$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta có được $f(t)\geqslant f(-1)=-3$

Vậy $P \geqslant -3$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=0\\x+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{matrix}\right.$

[vanhanqct]

Đặt $t=xy+yz+2xz$, dễ dàng thấy được $P=t^2-\frac{8}{t+3}$

Ta luôn có $(x+z)^2+y^2+(x+y+z)^2\geqslant 0\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+2xz)\geqslant 0$

          $\Rightarrow 2+2t\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant -1$

Xét $P=f(t)=t^2-\frac{8}{t+3},t \geqslant -1$

$\Rightarrow f'(t)=2t+\frac{8}{(t+3)^2}=0\Leftrightarrow t=-4,t=-1$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta có được $f(t)\geqslant f(-1)=-3$

Vậy $P \geqslant -3$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=0\\x+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{matrix}\right.$

Bài này không dùng kiến thức dạo hàm, chỉ sử dụng phép biến đổi và kiến thức lớp 10 thì giải được không bạn, nếu có cho mình bài làm cụ thể