Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Các bài toán về Đa thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 23 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2013 - 14:53

Đa thức là một phần trong cấu trúc đề thi Đại số và trong Giải tích cũng không thiếu, nhưng hiện tại chưa có chỗ nào để chúng ta thảo luận về vấn đề này. Vì vậy tôi mở topic này để chúng ta cùng thảo luận về một phần không hề kém thú vị.

 

Lưu ý: Trong topic này chúng ta chỉ thảo luận về toán: đề toán, ý tưởng, phương pháp..., các vấn đề ngoài lề chúng ta không nên bàn ở đây để chủ đề không bị loãng.

 

.............................................................................

Xin mở đầu bằng các bài toán trong đề thi cấp trường của ĐH SP HN năm 2013 nha!

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ ĐH SP HN 2013

Cho phương trình $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Chứng minh rằng $$(n-1)a_1^{2}> 2na_0a_2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-10-2013 - 14:56

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 19-10-2013 - 17:23

 

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ ĐH SP HN 2013

Cho phương trình $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Chứng minh rằng $$(n-1)a_1^{2}> 2na_0a_2$$

Lời giải:

 

Đặt $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$

 

Vì $P(x)=0$ có $n$ nghiệm phân biệt nên $P^{(n-2)}(x)=0$ có $2$ nghiệm phân biệt

 

Vậy $P^{(n-2)}=\frac{n!}{2}\: a_0\: x^2+(n-1)!\: a_1\: x+(n-2)!\: a_2=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{2}\: a_0\: x^2+(n-1)\: a_1\: x+a_2=0$

 

$\to \Delta=\left ( (n-1)\: a_1 \right )^2-4\left ( \frac{n(n-1)}{2} \: a_0\ a_2 \right )>0$

 

$\Leftrightarrow (n-1)\left ( (n-1)\: a_1^2-2n\: a_0\: a_2 \right )>0$

 

$n>1\Rightarrow (n-1)\: a_1^2> 2n\: a_0\: a_2$ $\fbox{đpcm}$

 

Ý tưởng: ...!  ~O)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 19-10-2013 - 17:24

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2013 - 22:14

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c>0$ ; $a+b+c=1$

 

a) Giả sử $0<x_1\leqslant 1\leqslant x_2$. Chứng minh $f(x_1)f(x_2)\geq f(x_1x_2)$

 

b) Chứng minh rằng với mọi dãy $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thỏa mãn điều kiện $x_1x_2\ldots x_n=1$ và $x_i\geq 0\quad (\forall i=\overline{1,n})$ ta luôn có $$f(x_1)f(x_2)\ldots f(x_n)\geq 1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-10-2013 - 22:14

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 21-10-2013 - 14:05

$\boxed{\text{Bài 1}}$ ĐH SP HN 2013

Cho phương trình $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Chứng minh rằng $$(n-1)a_1^{2}> 2na_0a_2$$

 

$(n-1)a_1^{2}> 2na_0a_2\Leftrightarrow (n-1)(\frac{a_1}{a_0})^2> 2n\frac{a_2}{a_0}$

theo định lí viét ta có : $\sum x_i=-\frac{a_1}{a_0}$  và  $\sum_{i\neq j} x_ix_j=\frac{a_2}{a_0}$

vậy bdt tương đương: $(n-1)(\sum x_i)^2> 2n(\sum_{i\neq j} x_ix_j ) \Leftrightarrow \sum_{i\neq j}(x_i-x_j) ^2 > 0 $ (đúng - do các nghiệm phân biệt )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 22-10-2013 - 06:37

NGU
Hình đã gửi

#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-10-2013 - 06:51

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho đa thức với hệ số thực $$P(x)=a_{2012}x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots +a_1x+a_0$$ thỏa $P(0)\neq P(-1)$ và với $a,b\in \mathbb{R}$ ta đặt $$Q(x)=b_{2012}x^{2012}+b_{2011}x^{2011}+\cdots +b_1x+b_0$$ là đa thức có hệ số thực nhận được từ biểu thức $$b_k=a.a_k+b\quad \forall k=0,1,2,\ldots ,2012$$

Chứng minh rằng: Nếu $Q(0)=Q(-1)\neq 0$ thì $Q(x)$ không có nghiệm thực

 


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 23-10-2013 - 15:35

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho đa thức với hệ số thực $$P(x)=a_{2012}x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots +a_1x+a_0$$ thỏa $P(0)\neq P(-1)$ và với $a,b\in \mathbb{R}$ ta đặt $$Q(x)=b_{2012}x^{2012}+b_{2011}x^{2011}+\cdots +b_1x+b_0$$ là đa thức có hệ số thực nhận được từ biểu thức $$b_k=a.a_k+b\quad \forall k=0,1,2,\ldots ,2012$$

Chứng minh rằng: Nếu $Q(0)=Q(-1)\neq 0$ thì $Q(x)$ không có nghiệm thực

anh Đức xem lại cái đề giùm em!!!!!

phản chứng đây: xét $P(x)=x^{2012}+2x^{1006}+2$ có $P(0)=2\neq 5=P(-1)$

                           

                            Với  $a=-2;b=3$ ta được $Q(x)=x^{2012}-x^{1006}-1$ thỏa $Q(0)=Q(-1)=-1\neq 0$

                           

                            Nhưng $Q(x)$ có nghiệm thực cụ thể là $Q(\pm \sqrt[1006]{\frac{1+\sqrt{5}}{2}})=0$

 

p/s: em có gì sai anh đừng cười nha!!!!!


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-10-2013 - 00:01



anh Đức xem lại cái đề giùm em!!!!!

phản chứng đây: xét $P(x)=x^{2012}+2x^{1006}+2$ có $P(0)=2\neq 5=P(-1)$

                           

                            Với  $a=-2;b=3$ ta được $Q(x)=x^{2012}-x^{1006}-1$ thỏa $Q(0)=Q(-1)=-1\neq 0$

                           

                            Nhưng $Q(x)$ có nghiệm thực cụ thể là $Q(\pm \sqrt[1006]{\frac{1+\sqrt{5}}{2}})=0$

 

p/s: em có gì sai anh đừng cười nha!!!!!

 

Phản ví dụ của em sai rồi Tuấn Anh à!

 

Sai ở chổ với $P(x)=x^{2012}+2x^{1006}+2$ và $a=-2, b=3$ thì đa thức $Q(x)$ thu được sẽ là $$Q(x)=x^{2012}+3x^{2011}+3x^{2010}+\cdots +3x^{1007}-x^{1006}+3x^{1005}+\cdots +3x-1$$ vì $b_k=a.a_k+b\quad \forall k=0,1,2,\ldots ,2012$


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-10-2013 - 00:13

$\boxed{\text{Bài 4}}$

Tìm tất cả các đa thức $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,\quad n\geq 2$$ với hệ số thực khác không sao cho $$P(x)-P_1(x)P_2(x)\ldots P_{n-1}(x)$$ là đa thức hằng.

Trong đó:

 

$P_1(x)=a_1x+a_0$

$P_2(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$

$\cdots$

$P_{n-1}(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_1x+a_0$

 


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#9 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 24-10-2013 - 12:53

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c>0$ ; $a+b+c=1$

 

a) Giả sử $0<x_1\leqslant 1\leqslant x_2$. Chứng minh $f(x_1)f(x_2)\geq f(x_1x_2)$

 

b) Chứng minh rằng với mọi dãy $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thỏa mãn điều kiện $x_1x_2\ldots x_n=1$ và $x_i\geq 0\quad (\forall i=\overline{1,n})$ ta luôn có $$f(x_1)f(x_2)\ldots f(x_n)\geq 1(^*)$$

 

Bài giải:

 

$a)$

 

$\fbox{Cách 1:}$

 

Ta có 

 

$f(x_1)f(x_2)-f(x_1x_2)=\left ( ax_1^2+bx_1+c \right )\left ( ax_2^2+bx_2+c \right )-\left ( ax_1^2x_2^2+bx_1x_2+c \right )$

 

$=a(a-1)x_1^2x_2^2+b(b-1)x_1x_2+c(c+1)+abx_1x_2(x_1+x_2)+bc(x_1+x_2)+ca(x_1^2+x_2^2)$

 

$=abx_1x_2(x_1+x_2-x_1x_2-1)+bc(x_1+x_2-x_1x_2-1)+ca(x_1^2+x_2^2-x_1^2x_2^2-1)$

 

$=(x_2-1)(1-x_1)\left ( abx_1x_2+bc+ca(x_1+1)(x_2+1) \right )\geq0$ $\fbox{đpcm}$

 

$\fbox{Cách 2:}$

 

Gọi $x_1, \: x_2$ là nghiệm của phương trình $g(x)=f(x)+dx+e=ax^2+(b+d)x+c+e$

 

Theo $Viet$ $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b+d}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c+e}{a}>0 \end{matrix}\right.$

 

...........đến đây làm tương tự cách 1

 

$b)$

 

Khi

 

$-\: n=1$ thì $(^*)$ chuẩn

 

$-\: n=2$ thì $(^*)$ được chứng minh giống $a)$ và chuẩn

 

Giả sử $(^*)$ đúng với $n=k$  tức  $\prod_{i=1}^{k}f\left ( x_k \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right )= 1$

 

Bây giờ ta cần chứng minh $(^*)$ đúng với $n=k+1$, tức

 

$\prod_{i=1}^{k+1}f\left ( x_k \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right )f\left ( x_{k+1} \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k+1}x_k \right )=1 \: \text{theo câu a)}$  $\fbox{đpcm}$

 

 

ý tưởng: ..!! ~O)

 

P/s: Phần chứng minh bài toán bằng quy nạp thì em ko rõ là đúng hay sai! Không hay làm bằng phương pháp này cho lắm


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#10 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-10-2013 - 14:21

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho đa thức với hệ số thực $$P(x)=a_{2012}x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots +a_1x+a_0$$ thỏa $P(0)\neq P(-1)$ và với $a,b\in \mathbb{R}$ ta đặt $$Q(x)=b_{2012}x^{2012}+b_{2011}x^{2011}+\cdots +b_1x+b_0$$ là đa thức có hệ số thực nhận được từ biểu thức $$b_k=a.a_k+b\quad \forall k=0,1,2,\ldots ,2012$$

Chứng minh rằng: Nếu $Q(0)=Q(-1)\neq 0$ thì $Q(x)$ không có nghiệm thực

$P(0)\neq P(-1)\Leftrightarrow a_{2012}-a_{2011}+...+a_2-a_1\neq 0$

$0=Q(-1)-Q(0)= b_{2012}-b_{2011}+...+b_2-b_1=(aa_{2012}+b)-(aa_{2011}+b)+...+(aa_2+b)-(aa_1+b)=a(a_{2012}-a_{2011}+...+a_2-a_1)$

 suy ra a =0 . và b khác ko .

đặt $K(x)=x^{2012}+x^{2011}+...+x+1$ thì Q=b.K

 ta chứng minh K(x) vô nghiệm, thật vậy . 

dễ thấy x=1 ko phải nghiệm của K . xét x khác 1 thì  $K(x)=x^{2012}+x^{2011}+...+x+1=\frac{x^{2013}-1}{x-1}\neq 0;\forall x\neq 1$

do đó Q vô nghiệm

 

..................................

@vo van duc: Cơ sở nào khẳng định $P(x)$ vô nghiệm vậy em????

@ Đường Tuấn : Em nhầm , ko biết em đọc ở đâu ra cái giả thiết P vô nghiệm vậy chỉ :D !.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 25-10-2013 - 15:29

NGU
Hình đã gửi

#11 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-10-2013 - 14:58

Bài giải:

 

$b)$

 

Khi

 

$-\: n=1$ thì $(^*)$ chuẩn

 

$-\: n=2$ thì $(^*)$ được chứng minh giống $a)$ và chuẩn

 

Giả sử $(^*)$ đúng với $n=k$  tức  $\prod_{i=1}^{k}f\left ( x_k \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right )= 1$

 

Bây giờ ta cần chứng minh $(^*)$ đúng với $n=k+1$, tức

 

$\prod_{i=1}^{k+1}f\left ( x_k \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right )f\left ( x_{k+1} \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k+1}x_k \right )=1 \: \text{theo câu a)}$  $\fbox{đpcm}$

 

 

ý tưởng: ..!! ~O)

 

P/s: Phần chứng minh bài toán bằng quy nạp thì em ko rõ là đúng hay sai! Không hay làm bằng phương pháp này cho lắm

 

 khúc này mình thấy ko ổn lắm .

\prod_{i=1}^{k+1}f\left ( x_k \right )\geq f\left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right )f\left ( x_{k+1} ) $ - sao chỗ này em chỉnh hoài mà ko hiện vậy ta X_X

 


vì bạn muốn dùng giả thiết quy nạp của câu a thì phải có các số bị kẹp giữa 1 . lỡ tất cả các x này đều lớn hơn hoặc đều bé hơn 1 thì đâu dùng đc câu a .

mình nghĩ chỗ này mình phải đánh thứ tự lại các $x_i$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 24-10-2013 - 15:07

NGU
Hình đã gửi

#12 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-10-2013 - 15:33

$\boxed{\text{Bài 4}}$

Tìm tất cả các đa thức $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,\quad n\geq 2$$ với hệ số thực khác không sao cho $$P(x)-P_1(x)P_2(x)\ldots P_{n-1}(x)$$ là đa thức hằng.

Trong đó:

 

$P_1(x)=a_1x+a_0$

$P_2(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$

$\cdots$

$P_{n-1}(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_1x+a_0$

vì các hệ số là khác không nên ta gọi n là bậc của P thì lúc đó n cũng là bậc của $P_1P_2..P_{n-1}$. ( do hiệu của chũng là đa thức hằng nên bạc của chúng = nhau )

suy ra $n-1 + n-2 + ... +1 = n $ suy ra n =3

giả sử đa thức có dạng $P=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $

khi đó $P(x)-P_1(x)P_2(x)\ldots P_{n-1}(x)$ là đa thức hằng nên các hệ số b1,b2,b3 =0 nên ta lập đc hệ. và giải ra ta đc: 

$a_{0}=\frac{1}{2}$

$a_1 \neq 0 $

$a_2 = 2a^2_1$

$a_3 = 2 a^3_1 $

kiểm tra lại thấy đa thức trên thoã yêu cầu bt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 24-10-2013 - 15:38

NGU
Hình đã gửi

#13 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 24-10-2013 - 16:44



 khúc này mình thấy ko ổn lắm .

$ \prod_{i=1}^{k+1}f \left ( x_k \right )\geq f \left ( \prod_{i=1}^{k}x_k \right ) f\left ( x_{k+1} )\right)$ - sao chỗ này em chỉnh hoài mà ko hiện vậy ta X_X (Gõ sai nên không hiện, nên gõ lại không nên coppy!! ~O) )

 

vì bạn muốn dùng giả thiết quy nạp của câu a thì phải có các số bị kẹp giữa 1 . lỡ tất cả các x này đều lớn hơn hoặc đều bé hơn 1 thì đâu dùng đc câu a .

mình nghĩ chỗ này mình phải đánh thứ tự lại các $x_i$.

 

Vì $\prod_{i=1}^{k+1}x_k=1\to \left[\begin{matrix}0<\prod_{i=1}^{k}x_k\leq 1\leq x_{k+1}\\0<x_{k+1}\leq 1\leq\prod_{i=1}^{k}x_k\end{matrix}\right. $

 

Như thế thì đúng chưa?


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#14 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 25-10-2013 - 15:17



Vì $\prod_{i=1}^{k+1}x_k=1\to \left[\begin{matrix}0<\prod_{i=1}^{k}x_k\leq 1\leq x_{k+1}\\0<x_{k+1}\leq 1\leq\prod_{i=1}^{k}x_k\end{matrix}\right. $

 

Như thế thì đúng chưa?

ý mình là nếu nó rơi vào 2 tr hợp thế này thì ko ổn nè  :icon6:

vẫn ko ổn lắm . Bạn xem thử tr hợp này $0<\prod_{i=1}^{k}x_k\leq 1\leq x_{k+1}$

trong tr hợp này cái bdt đây ko đúng : $\prod_{i=1}^{k}f(x_k)\geq f(\prod_{1}^{k}x_i)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 25-10-2013 - 15:31

NGU
Hình đã gửi

#15 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2013 - 06:00

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hẳng số thỏa mãn $$x^2P(x)+P(1-x)=2x-x^4\qquad \forall x\in \mathbb{R}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 27-10-2013 - 06:02

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#16 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 27-10-2013 - 07:34

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hẳng số thỏa mãn $$x^2P(x)+P(1-x)=2x-x^4\qquad \forall x\in \mathbb{R},\: \: (*)$$

 

Lời giải:

 

$\fbox{Cách 1}$

 

Giả sử $Deg\left ( P \right )=n\to n+2=4\Leftrightarrow n=2$

 

So sánh hệ số của biến có mũ lớn nhất ta thấy $a=-1$

 

$x=0\to P(1)=0$

 

$x=1\to P(0)=1$

 

$\to P(x)=-x^2+1$

 

Thử lại!!!chuẩn.

 

Vậy $P\left ( x \right )=1-x^2$

..............................

 

$\fbox{Cách 2:}$

 

$x\to 1-x\Rightarrow \left ( 1-x \right )^2P(1-x)+P\left ( x \right )=2\left ( 1-x \right )-\left ( 1-x \right )^4,\:\:  (**)$

 

Lấy $\left ( 1-x \right )^2(*)-(**)$

 

$\Rightarrow \left ( x^2\left ( 1-x \right )^2-1 \right )P(x)=\left ( 1-x \right )^2\left ( 2x-x^4 \right )-\left ( 2\left (1-x \right ) -\left ( 1-x \right )^4\right )$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^4-2x^3+x^2-1 \right )P(x)=\left ( 1-x^2 \right )\left ( x^4-2x^3+x^2-1 \right )$

 

$\Leftrightarrow P(x)=1-x^2$

 

Ý Tưởng:...!! ~O)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#17 nntd111193

nntd111193

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 29-10-2013 - 14:32

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho đa thức $Q(x)=1+4x+4x^2+...+4x^{2n}$ thuộc R[x] (n là số tự nhiên). Tìm tất cả các đa thức P(x) trên R[x] sao cho $[P(x)]^2=Q(x)$

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Cho đa thức $f(x)=2013x^{2013}+a_{2012}x^{2012}+...+a_1x+a_0$ có 2013 nghiệm thức $x_1,x_2,...x_{2013}$ và g(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2012. Chứng minh rằng : $\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-10-2013 - 16:23


#18 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 31-10-2013 - 14:13


 

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Cho đa thức $f(x)=2013x^{2013}+a_{2012}x^{2012}+...+a_1x+a_0$ có 2013 nghiệm thức $x_1,x_2,...x_{2013}$ và g(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2012. Chứng minh rằng : $\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=0$

 

 cái số 2013 ( hệ số của $x^{2013}$ ) ta có thể giả sử là 1 cho đơn giản .

$f(x)=\prod_{i=1}^{2013}(x-x_i)$

$f'(x_i)=\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}(x_i-x_j)$

$g(x)=\sum_{i=1}^{2013}g(x_i)\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}(x-x_j)$   (1)

 Chia cả 2 vế của (1) cho $x^{2012}$ và cho x tiến về vô cùng .

vì g(x) có bậc nhỏ hơn 2012 nên VT tiến về 0 , còn vế phải tiên về $=\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}$ 

~O)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 31-10-2013 - 14:15

NGU
Hình đã gửi

#19 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 02-11-2013 - 19:04

 

 

 

 

 cái số 2013 ( hệ số của $x^{2013}$ ) ta có thể giả sử là 1 cho đơn giản .

$f(x)=\prod_{i=1}^{2013}(x-x_i)$

$f'(x_i)=\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}(x_i-x_j)$

$g(x)=\sum_{i=1}^{2013}g(x_i)\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}\prod_{j=1,j\neq i}^{2013}(x-x_j)$   (1)

 Chia cả 2 vế của (1) cho $x^{2012}$ và cho x tiến về vô cùng .

vì g(x) có bậc nhỏ hơn 2012 nên VT tiến về 0 , còn vế phải tiên về $=\sum_{i=1}^{2013}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}$ 

~O)

 

Bài giải có vẻ sai rồi! ~O)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#20 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 04-11-2013 - 12:18

ban noi ro hon la minh sai cho nao duoc ko
NGU
Hình đã gửi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh