Chủ đề này có 3 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Giải phương trình:$\ln (\sin x+1)=e^{\sin x}-1$

(Đề thi hsg giỏi vòng 1 Cà Mau 2009)

[Mrnhan]

Đặt $a= sinx\to -1<a\leq 1$ và $b=\ln(1+sinx)=\ln(1+t)\to 1+a=e^b\: \: (b\leq \ln2)$

 

Nên ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.$

 

Qua vài bước nữa là ta được $a=b$ nên $e^a=1+a$

 

Đặt $f(a)=1+a-e^a$ với $a\: \epsilon \: \left (-1;1 \right ]$

 

Ta có $f'(a)=1-e^a=0\Leftrightarrow a=0$

 

Lập bảng biến thiên ta có $Maxf(a)=f(0)=0$

 

Nên $a=0$ là nghiệm duy nhất của pt

 

Vậy $x=k\pi, \:\: k\: \epsilon\: \mathbb{Z}$

 

[Truong Gia Bao]

Đặt $a= sinx\to -1<a\leq 1$ và $b=\ln(1+sinx)=\ln(1+t)\to 1+a=e^b\: \: (b\leq \ln2)$

 

Nên ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.$

 

Qua vài bước nữa là ta được $a=b$ nên $e^a=1+a$

 

Đặt $f(a)=1+a-e^a$ với $a\: \epsilon \: \left (-1;1 \right ]$

 

Ta có $f'(a)=1-e^a=0\Leftrightarrow a=0$

 

Lập bảng biến thiên ta có $Maxf(a)=f(0)=0$

 

Nên $a=0$ là nghiệm duy nhất của pt

 

Vậy $x=k\pi, \:\: k\: \epsilon\: \mathbb{Z}$

Mình cần cái gọi là "vài bước nữa" ấy???

[chanhquocnghiem]

Mình cần cái gọi là "vài bước nữa" ấy???

$\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.\Rightarrow e^a-e^b=b-a$ (*)

Xét các trường hợp :

+ $a> b$ : Khi đó vế trái của (*) dương, còn vế phải âm (loại)

+ $a< b$ : Khi đó vế trái của (*) âm, còn vế phải dương (loại)

+ Vậy $a=b\Rightarrow e^a=1+a$.