Giải phương trình:$\ln (\sin x+1)=e^{\sin x}-1$
(Đề thi hsg giỏi vòng 1 Cà Mau 2009)
Giải phương trình:$\ln (\sin x+1)=e^{\sin x}-1$
(Đề thi hsg giỏi vòng 1 Cà Mau 2009)
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Đặt $a= sinx\to -1<a\leq 1$ và $b=\ln(1+sinx)=\ln(1+t)\to 1+a=e^b\: \: (b\leq \ln2)$
Nên ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.$
Qua vài bước nữa là ta được $a=b$ nên $e^a=1+a$
Đặt $f(a)=1+a-e^a$ với $a\: \epsilon \: \left (-1;1 \right ]$
Ta có $f'(a)=1-e^a=0\Leftrightarrow a=0$
Lập bảng biến thiên ta có $Maxf(a)=f(0)=0$
Nên $a=0$ là nghiệm duy nhất của pt
Vậy $x=k\pi, \:\: k\: \epsilon\: \mathbb{Z}$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Đặt $a= sinx\to -1<a\leq 1$ và $b=\ln(1+sinx)=\ln(1+t)\to 1+a=e^b\: \: (b\leq \ln2)$
Nên ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.$
Qua vài bước nữa là ta được $a=b$ nên $e^a=1+a$
Đặt $f(a)=1+a-e^a$ với $a\: \epsilon \: \left (-1;1 \right ]$
Ta có $f'(a)=1-e^a=0\Leftrightarrow a=0$
Lập bảng biến thiên ta có $Maxf(a)=f(0)=0$
Nên $a=0$ là nghiệm duy nhất của pt
Vậy $x=k\pi, \:\: k\: \epsilon\: \mathbb{Z}$
Mình cần cái gọi là "vài bước nữa" ấy???
Mình cần cái gọi là "vài bước nữa" ấy???
$\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.\Rightarrow e^a-e^b=b-a$ (*)
Xét các trường hợp :
+ $a> b$ : Khi đó vế trái của (*) dương, còn vế phải âm (loại)
+ $a< b$ : Khi đó vế trái của (*) âm, còn vế phải dương (loại)
+ Vậy $a=b\Rightarrow e^a=1+a$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh