Chủ đề này có 4 trả lời

[manhthai02]

CMR: với $x,y,z >0$ và $x^2+y^2+z^2=1$

$\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

 

@hiếu Chú ý cách đặt tiêu đề bạn nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 21:41

[NMDuc98]

CMR: với x,y,z >0 và x^2+y^2+z^2=1

$\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Theo BĐT Cô-si ta có:

$x^{2}(y^{2}+z^{2})^{2}=\frac{1}{2}.2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})$

$\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2}}{3} \right )^{3}=\frac{4}{27}$

=>$x(y^{2}+z^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$<=>\frac{x}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$         (1)

Tương tự:

$\frac{y}{z^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.y^{2}$               (2)

$\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.z^{2}$                (3)

Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta được:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=>$x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

[LuminousVN]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x+y+z=\sqrt{3}$

$VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

$=\frac{x}{(1+x)(1-x)}+\frac{y}{(1+y)(1-y)}+\frac{z}{(1+z)(1-z)}$$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{(1+y)(1-y)}-\frac{1}{(1+z)(1-z)}$

$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}+\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{y^2-1}+\frac{1}{z^2-1}$

$\geq \frac{9}{1-x+1-y+1-z}+\frac{9}{x^2-1+y^2-1+z^2-1}$

$= \frac{9}{3-(x+y+z)}+\frac{9}{x^2+y^2+z^2-3}=\frac{9}{3-\sqrt{3}}+\frac{9}{1-3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuminousVN: 19-10-2013 - 21:50

[khonggiohan]

Ta đi cm $\frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\Leftrightarrow 3\sqrt{3}x^{3}-3\sqrt{3}x+2\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{3}x-1)^{2}(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng). Thiết lập các bđt tương tự cộng vào được điều phải cm

[leduylinh1998]

Không mất tính tổng quát, giả sử: $\large x\geq y\geq z$

$\large \Rightarrow \frac{x}{y^{2}+z^{2}}\leq \frac{y}{z^{2}+x^{2}}\leq \frac{z}{x^{2}+y^{2}}$

Áp dụng BĐT trê bư sép:

$ \large \left ( \frac{x}{y^{2}+z^{2}}+ \frac{y}{z^{2}+x^{2}}+ \frac{z}{x^{2}+y^{2}} \right )(z+y+z)\geq 3\left ( \frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+ \frac{y^{2}}{z^{2}+x^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}} \right )$

Mà  $\large \frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+ \frac{y^{2}}{z^{2}+x^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

$\large \Rightarrow A(x+y+z)\geq \frac{9}{2}$

$\large \Rightarrow A\geq \frac{9}{2(x+y+z)}$

Lại có: $\large (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3$

$\large \Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3}$

$\large \Rightarrow A\geq \frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$