Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

cho a,b,c>0 cmr $a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}\geq ab\sqrt{b}+bc\sqrt{c}+ca\sqrt{a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zimmi

Zimmi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Đã gửi 19-10-2013 - 22:16

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

2.$\frac{\sqrt{bc}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ac}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ba}}{c(\sqrt{a}+\sqrt{c})}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

3.$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}$

4.$a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}\geq ab\sqrt{b}+bc\sqrt{c}+ca\sqrt{a}$



#2 moonsun

moonsun

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-10-2013 - 05:22

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

 

Đk: a,b,c > 0

$VT-VP=\sqrt{a}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})+\sqrt{b}(\frac{1}{c}-\frac{1}{b})+\sqrt{c}(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})\\=\frac{c\sqrt{a}(a-b)+a\sqrt{b}(b-c)+b\sqrt{c}(c-a)}{abc}$

Ta cần chứng minh: $P=c\sqrt{a}(a-b)+a\sqrt{b}(b-c)+b\sqrt{c}(c-a)\geq 0$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$ac\sqrt{a}+bc\sqrt{a}\geq 2ac\sqrt{b}\\ab\sqrt{b}+ac\sqrt{b}\geq 2ab\sqrt{c}\\bc\sqrt{c}+ab\sqrt{c}\geq 2bc\sqrt{a}$

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm

"="$\Leftrightarrow a=b=c$



#3 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 20-10-2013 - 08:01

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

2.$\frac{\sqrt{bc}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ac}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ba}}{c(\sqrt{a}+\sqrt{c})}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

3.$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}$

4.$a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}\geq ab\sqrt{b}+bc\sqrt{c}+ca\sqrt{a}$

bài 2 đặt $\sqrt{a}=\frac{1}{x};\sqrt{b}=\frac{1}{y};\sqrt{c}=\frac{1}{z}$

ta có bđt cần cm tương đương với$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

dùng Cauchy swarch ta có $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{1}{2}(x+y+z) (dpcm)$

 

Bài 3 bài 4 thì đặt $\sqrt{a}=x ; \sqrt{b}=y, \sqrt{c}=z$ 

xong áp dụng cô si là ra 

ví dụ câu 3 $x^3+x^3+y^3 \geq  3x^2y$ tương tự rồi cộng vế

câu 4 thì $x^5+x^5+y^5+y^5+y^5 \geq 5 x^2y^3$ tương tự rồi cộng vế


tàn lụi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh