Chủ đề này có 2 trả lời

[Zimmi]

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

2.$\frac{\sqrt{bc}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ac}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ba}}{c(\sqrt{a}+\sqrt{c})}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

3.$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}$

4.$a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}\geq ab\sqrt{b}+bc\sqrt{c}+ca\sqrt{a}$

[moonsun]

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

 

Đk: a,b,c > 0

$VT-VP=\sqrt{a}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})+\sqrt{b}(\frac{1}{c}-\frac{1}{b})+\sqrt{c}(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})\\=\frac{c\sqrt{a}(a-b)+a\sqrt{b}(b-c)+b\sqrt{c}(c-a)}{abc}$

Ta cần chứng minh: $P=c\sqrt{a}(a-b)+a\sqrt{b}(b-c)+b\sqrt{c}(c-a)\geq 0$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$ac\sqrt{a}+bc\sqrt{a}\geq 2ac\sqrt{b}\\ab\sqrt{b}+ac\sqrt{b}\geq 2ab\sqrt{c}\\bc\sqrt{c}+ab\sqrt{c}\geq 2bc\sqrt{a}$

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm

"="$\Leftrightarrow a=b=c$

[Ha Manh Huu]

1.$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{\sqrt{b}}{c}+\frac{\sqrt{c}}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

2.$\frac{\sqrt{bc}}{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ac}}{b(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{ba}}{c(\sqrt{a}+\sqrt{c})}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

3.$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}$

4.$a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}\geq ab\sqrt{b}+bc\sqrt{c}+ca\sqrt{a}$

bài 2 đặt $\sqrt{a}=\frac{1}{x};\sqrt{b}=\frac{1}{y};\sqrt{c}=\frac{1}{z}$

ta có bđt cần cm tương đương với$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

dùng Cauchy swarch ta có $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{1}{2}(x+y+z) (dpcm)$

 

Bài 3 bài 4 thì đặt $\sqrt{a}=x ; \sqrt{b}=y, \sqrt{c}=z$ 

xong áp dụng cô si là ra 

ví dụ câu 3 $x^3+x^3+y^3 \geq  3x^2y$ tương tự rồi cộng vế

câu 4 thì $x^5+x^5+y^5+y^5+y^5 \geq 5 x^2y^3$ tương tự rồi cộng vế