Chủ đề này có 3 trả lời

[Juliel]

Chứng minh rằng :

$$tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}$$

Với tam giác $ABC$ nhọn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-11-2013 - 11:01

[linhlun97]

A,B,C có điều kiện gì ko bạn?

[Juliel]

A,B,C có điều kiện gì ko bạn?

A,B,C là ba góc của một tam giác thôi bạn ạ.

[Hoang Tung 126]

Đặt $tan\frac{A}{2}=x,tan\frac{B}{2}=y,tan\frac{C}{2}=z= > xy+yz+xz=1$

$= > tan A=\frac{2x}{1-x^2},tanB=\frac{2y}{1-y^2},tan C=\frac{2z}{1-z^2},cosA=\frac{1-x^2}{1+x^2},cosB=\frac{1-y^2}{1+y^2},cosC=\frac{1-z^2}{1+z^2}$

BĐT $< = > \frac{4xy}{(1-x^2)(1-y^2)}+\frac{4yz}{(1-y^2)(1-z^2)}+\frac{4xz}{(1-x^2)(1-z^2)}\geq 3+\frac{1+x^2}{1-x^2}+\frac{1+y^2}{1-y^2}+\frac{1+z^2}{1-z^2}$

Quy đồng rồi nhân chéo  rồi rút gọn ta được :$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)+2-2x^2-2y^2-2z^2\leq 0< = > 2(x^2+y^2+z^2)\geq (xy+yz+xz)^2+1=1+1=2< = > x^2+y^2+z^2\geq 1$

Mà nó luôn đúng vì theo bđt Cosi ta có :$x^2+y^2+z^2=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}+\frac{z^2+x^2}{2}\geq xy+yz+xz=1$

$= > DPCM$ .Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}< = > \angle A=\angle B=\angle C=60$