Chứng minh rằng :
$$tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}$$
Với tam giác $ABC$ nhọn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-11-2013 - 11:01
Chứng minh rằng :
$$tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}$$
Với tam giác $ABC$ nhọn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-11-2013 - 11:01
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
A,B,C có điều kiện gì ko bạn?
A,B,C có điều kiện gì ko bạn?
A,B,C là ba góc của một tam giác thôi bạn ạ.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Đặt $tan\frac{A}{2}=x,tan\frac{B}{2}=y,tan\frac{C}{2}=z= > xy+yz+xz=1$
$= > tan A=\frac{2x}{1-x^2},tanB=\frac{2y}{1-y^2},tan C=\frac{2z}{1-z^2},cosA=\frac{1-x^2}{1+x^2},cosB=\frac{1-y^2}{1+y^2},cosC=\frac{1-z^2}{1+z^2}$
BĐT $< = > \frac{4xy}{(1-x^2)(1-y^2)}+\frac{4yz}{(1-y^2)(1-z^2)}+\frac{4xz}{(1-x^2)(1-z^2)}\geq 3+\frac{1+x^2}{1-x^2}+\frac{1+y^2}{1-y^2}+\frac{1+z^2}{1-z^2}$
Quy đồng rồi nhân chéo rồi rút gọn ta được :$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)+2-2x^2-2y^2-2z^2\leq 0< = > 2(x^2+y^2+z^2)\geq (xy+yz+xz)^2+1=1+1=2< = > x^2+y^2+z^2\geq 1$
Mà nó luôn đúng vì theo bđt Cosi ta có :$x^2+y^2+z^2=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}+\frac{z^2+x^2}{2}\geq xy+yz+xz=1$
$= > DPCM$ .Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}< = > \angle A=\angle B=\angle C=60$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh