Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 11-12 chuyên KHTN 2013-2014 (Vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 20-10-2013 - 14:48

Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên

 

Ngày thi thứ nhất: Thời gian làm bài 240'

 

Bài 1: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và 

      $a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.

Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.

 

Bài 2: Cho tập hợp $S={1,2,3,...,2014}$. Tìm số cách chọn ra từ tập $S$ $m$ số chẵn và $n$ số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau $1$ đơn vị.

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$.Phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ tai điểm $D$. $P$ và $Q$ là $2$ điểm di chuyển trên đoạn $AD$ sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$. Gọi $R$ là hình chiếu của $Q$ trên cạnh $BC$, $d$ là đường thẳng qua $R$ vuông góc với $OP$. Chứng minh rằng khi $P, Q$ di chuyển trên $AD$ thì các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 4: Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng $10$ điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.

 

===============================================

 

Này thi thứ hai:  Thời gian làm bài 240'

 

Bài 1:Tìm các số nguyên $m,n$ thỏa mãn điều kiện $2n^{2}+3|m^{2}-2$

 

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện sau:

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy$ với mọi số thực $x,y$

 

Bài 3: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,L,K$ là tâm đường tròn Ơle các tam giác $CDE, EFA, ABC$. Gọi $X,Y,Z$ là hình chiếu của $M,L,K$ trên các đường thẳng $AD,CF,EB$. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng $AX,CY,EZ$ đồng quy.

 

Bài 4:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.

Tìm giá trị lớn nhất của 

  $A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.

Hết


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 20-10-2013 - 15:04


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-10-2013 - 18:07



 

 

Bài 4:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.

Tìm giá trị lớn nhất của 

  $A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Lúc đó $$A=(a-b+\sqrt{6})(b-c+\sqrt{6})(a-c+\sqrt{6})$$

$$\leq \frac{[(a-b+\sqrt{6})+(b-c+\sqrt{6})]^2}{4}.(a-c+\sqrt{6})=\frac{(a-c+2\sqrt{6})^2(a-c+\sqrt{6})}{4}$$

Mặt khác $(a-c)^2\leq 2(a^2+c^2)\leq 2(a^2+b^2+c^2)=4$ suy ra $a-c\leq 2$

Vậy $A\leq (1+\sqrt{6})^2(2+\sqrt{6})$. Dấu đẳng thức xảy ra tại $a=1,b=0,c=-1$ và các hoán vị tương ứng.

P/s : Thi tốt không Hoàn ơi :") Hnay thấy c post stt facebook vui chắc là thi tốt hả :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 20-10-2013 - 18:12

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 20-10-2013 - 18:45

Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên

 

Ngày thi thứ nhất: Thời gian làm bài 240'

 

Bài 1: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và 

      $a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.

Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.

 

Tu cong thuc truy hoi ta co $a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-a_{n+1}a_{n-2}=1=a_{n-1}^{2}+a_{n-2}^{2}-a_{n}a_{n-3}$

Tu do ta co $\frac{a_{n+1}+a_{n-2}}{a_n+a_{n-3}}=\frac{a_n}{a_{n-2}}$

Lam tuong tu lui dan roi nhan lai ta duoc $\frac{a_{n+1}+a_{n-2}}{a_4+a_1}=\frac{a_n.a_{n-1}}{a_3.a_2}$

Hay $a_{n+1}+a_{n-2}=2a_n.a_{n-1}$. thay cong thuc truy hoi o de bai vao ta duoc $a_n^{2}+a_{n-1}^{2}+a_{n-2}^{2}-2a_n.a_{n-1}.a_{n-2}=1$ hay $x_n^{2}+x_{n-1}^{2}+x_{n-2}^{2}-x_n.x_{n-1}.x_{n-2}=4$ voi $x_n=2a_n$. Dang thuc nay goi nho cho ta cach dat quen thuoc sau.

Viet $x_n=y_n+\frac{1}{y_n}$ voi $y_n>1$ thi ta se duoc $y_{n+1}=y_n.y_{n-1}$

Chu y $y_2=y_1^{2}$.

Ta se duoc $y_n=y_1^{F_n}$ voi $F_1=1,F_2=2,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

$y_1=3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2=(\alpha)^2$

Do do $2(a_{2014}+1)=x_{2014}+2=(\alpha)^{2F_{2014}}+\frac{1}{(\alpha)^{2F_{2014}}}+2=((\alpha)^{F_{2014}}+\frac{1}{(\alpha)^{F_{2014}}})^2$

Tu do $a_{2014}+1$ thuoc CP.



#4 reddevil1998

reddevil1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatoric

Đã gửi 21-10-2013 - 13:10

Mình là học sinh lớp 10 cũng được đi thi ,mình chỉ nêu binh luân những câu mình làm được thôi nhé

Câu 2 ngày 1:

xây dựng một cấu hình là đường tròn ,xếp các số $1,2,...,2k$ lên đ.tròn (thay $2014$ bởi $2k$),số sau hơn số trước 1 đơn vị,số tập con thoả đề chính là số cách chọn 1 số số từ d.tròn mà ko có 2 số nào cạnh nhau(không tính cặp $(1,2k)$)

Nhận xét :Không có cách chọn nào có số phần tử vượt quá $k$(CM nhận xét này rất dễ,các bạn tự CM nhé,chia tập được chọn ra 2 tập chẵn ,lẻ)

Rồi sau đó thiết lập 2 dãy truy hồi là $A_{n},B_{n}$

$A_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là chẵn

$B_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là lẻ.

Xét 2 số $2k,2k-1$

$2k$ được chọn ,ta loại $2k-1$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $B_{k}$

$2k-1$ được chọn ta loại $2k-2,2k$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $A_{k-1}$

Ta dc:$A_{k}=A_{k-1}+B_{k}$

Tương tự ,ta cũng có $B_{k}=A_{k-1}+B_{k-1}$

đến đây thì chắc dễ rồi

 

Bài 1 ngày 2 ,dùng SCP mod p ,suy ra mỗi ưnt của $2n^{2}+3$ chỉ có dạng $8k+1,8k+7$,từ đây dễ thấy vô lí

Bài 2 ngày 2 mình ra 3 nghiệm ,$f(x)=x^{2},f(x)=2x,f(x)=-x$

Đầu tiên mình tính $f(0),f(1),f(2)$,rồi quy nạp trên Z,trên Q,rồi cm f đồng biến,chọn 2 dãy số hữu tỉ tiến về x để chuyển về trên R

Bài 4 ngày 2 đúng như anh White Shadow làm.

 

P/s: :( Chắc là bị loại rồi.....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil1998: 21-10-2013 - 13:15


#5 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2013 - 19:10

Hoàn ơi xem lại đề bài 4 ngày 1 xem, mình lấy 11 đường tròn đơn vị tâm là các điểm xanh và giao khác rỗng, nhét 10 điểm đỏ vào phần giao đó là được mà @@~  


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#6 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 22-10-2013 - 19:23

Hoàn ơi xem lại đề bài 4 ngày 1 xem, mình lấy 11 đường tròn đơn vị tâm là các điểm xanh và giao khác rỗng, nhét 10 điểm đỏ vào phần giao đó là được mà @@~  

Làm thế nào được Đạt ơi..Các đường tròn có bán kính bằng nhau mà,khi đó số điểm đỏ sẽ nhiều hơn số điểm xanh mà.:)



#7 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 22-10-2013 - 19:25

Mình là học sinh lớp 10 cũng được đi thi ,mình chỉ nêu binh luân những câu mình làm được thôi nhé

Câu 2 ngày 1:

xây dựng một cấu hình là đường tròn ,xếp các số $1,2,...,2k$ lên đ.tròn (thay $2014$ bởi $2k$),số sau hơn số trước 1 đơn vị,số tập con thoả đề chính là số cách chọn 1 số số từ d.tròn mà ko có 2 số nào cạnh nhau(không tính cặp $(1,2k)$)

Nhận xét :Không có cách chọn nào có số phần tử vượt quá $k$(CM nhận xét này rất dễ,các bạn tự CM nhé,chia tập được chọn ra 2 tập chẵn ,lẻ)

Rồi sau đó thiết lập 2 dãy truy hồi là $A_{n},B_{n}$

$A_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là chẵn

$B_{n}$ đếm số cách chọn thoả đề mà các số trên d.tròn là lẻ.

Xét 2 số $2k,2k-1$

$2k$ được chọn ,ta loại $2k-1$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $B_{k}$

$2k-1$ được chọn ta loại $2k-2,2k$ ra khỏi d.tròn,ta dc 1 cách chọn của $A_{k-1}$

Ta dc:$A_{k}=A_{k-1}+B_{k}$

Tương tự ,ta cũng có $B_{k}=A_{k-1}+B_{k-1}$

đến đây thì chắc dễ rồi

 

Bài 1 ngày 2 ,dùng SCP mod p ,suy ra mỗi ưnt của $2n^{2}+3$ chỉ có dạng $8k+1,8k+7$,từ đây dễ thấy vô lí

Bài 2 ngày 2 mình ra 3 nghiệm ,$f(x)=x^{2},f(x)=2x,f(x)=-x$

Đầu tiên mình tính $f(0),f(1),f(2)$,rồi quy nạp trên Z,trên Q,rồi cm f đồng biến,chọn 2 dãy số hữu tỉ tiến về x để chuyển về trên R

Bài 4 ngày 2 đúng như anh White Shadow làm.

 

P/s: :( Chắc là bị loại rồi.....

Bài 2 ngày 2 với 2 nghiệm $f(x)=x^{2}$ và $f(x)=-x$ sao chứng minh được đồng biến em???



#8 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 366 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 23-10-2013 - 22:29

Bài 3 vòng 1:

57898347.hinhhochp.jpg

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BU là phân giác ngoài góc B.

Khi đó bốn điếm P,Q,I,U lập thành một hàng điểm điều hòa => (OP,OQ,OI,OU)=-1

Gọi S, R, Z, J lần lượt là hình chiếu của P, Q, U, I lên BC. Khi đó: (S,R,J,Z)=-1.

IJ cắt các đường OQ, OP, OU lần lượt tại S', R', Z'. 

Ta dễ thấy: (OS',OR',OI, OJ)=-1. 

Qua Z, J lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với OU, OI chúng cắt nhau tại K, khi đó

(KS,KR,KJ,KZ)=-1.

Ta nhận thấy khi quay hệ các điểm O,S',R',Z' quanh I một góc 900,

thì các đường thẳng trong chùm điều hòa (OS',OR',OI, OZ')=-1 sẽ tương ứng song song với KS, KR, KJ, KZ (trong đó vẫn đảm bảo tỉ số $\frac{\overline{IR'}}{\overline{IS'}}=\frac{\overline{JR}}{\overline{JS}}$).

Điều đó có nghĩa là KS, KR lần lượt vuông góc với OQ (OS'), OP (OR').

Vì J, Z cố định => K cố định. Vậy các đường thẳng d luôn qua K cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 25-10-2013 - 12:09

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#9 123123

123123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 24-10-2013 - 17:57

Bài hình V1: Thực ra d luôn đi qua điểm K đối xứng với trung điểm M của BC qua phân giác góc A. Bài này chính là mở rộng của bài toán chứng minh KD vuông góc với OI  (O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, D là tiếp điểm của (I) với BC)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123123: 26-10-2013 - 12:14


#10 quocbaolqd11

quocbaolqd11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa.
  • Sở thích:tổ hợp và số học

Đã gửi 24-10-2013 - 21:11

cho mình hỏi là đề ngày 1 câu 2 có điều kiện $m,n >0$ hay không. Nếu $m,n$ chỉ là các số không âm thì nó chả khác gì bài toán tìm số tập con (kể cả rỗng) mà không chứ 2 số nguyên liên tiếp vậy.



#11 reddevil1998

reddevil1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatoric

Đã gửi 25-10-2013 - 11:40

cho mình hỏi là đề ngày 1 câu 2 có điều kiện $m,n >0$ hay không. Nếu $m,n$ chỉ là các số không âm thì nó chả khác gì bài toán tìm số tập con (kể cả rỗng) mà không chứ 2 số nguyên liên tiếp vậy.

Đương nhiên là m,m>0 rồi



#12 namdenck49

namdenck49

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:hát QUỐC CA

Đã gửi 28-10-2013 - 23:09

cậu ơi thi tốt chứ?



#13 namdenck49

namdenck49

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:hát QUỐC CA

Đã gửi 28-10-2013 - 23:12

Bài 2 ngày 2 với 2 nghiệm $f(x)=x^{2}$ và $f(x)=-x$ sao chứng minh được đồng biến em???

lớp 10 được thi á???????????????????????????????????????????????



#14 nguoivohinh98

nguoivohinh98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán 1 THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:FIFA ONLINE 3
    ÂM NHẠC

Đã gửi 29-06-2014 - 15:27

x2n+x2n−1+x2n−2−xn.xn−1.xn−2=4 voi xn=2an. Dang thuc nay goi nho cho ta cach dat quen thuoc sau.
Viet xn=yn+1yn voi yn>1 thi ta se duoc yn+1=yn.yn−1
Chu y y2=y21.
Ta se duoc yn=yFn1 voi F1=1,F2=2,Fn+2=Fn+1+Fn
y1=3+22√=(2√+1)2=(α)2
Do do 2(a2014+1)=x2014+2=(α)2F2014+1(α)2F2014+2=((α)F2014+1(α)F2014)2
Tu do a2014+1 thuoc CP.

mình không hiểu

#15 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 849 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:42

KHÔ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh